1.3-第1课时-正方形的性质

1.3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第1课时正方形的性质学习目标1.能说出正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点)3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点）观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.情景引入矩形〃问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?问题引入正方形一、正方形的定义问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形邻边相等矩形正方形菱形一个角是直角正方形∟正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.归纳总结由正方形的定义可知：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以正方形具有矩形、菱形所有的性质.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：思考请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?对称性：.对称轴：.轴对称图形4条ABCD二、正方形的性质已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°,AB=BC（正方形的定义）.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACDBACDBACDB∟∟∟∟O对边平行，邻边垂直，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等；每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形图形所具有的性质,在下表相应的空格中贴上平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等四边都相等四个角都是直角对角线互相平分对角线互相垂直对角线相等对角相等中心对称轴对称ADCBO正方形对角线把正方形分成几个等腰直角三角形？拓展:结论：八个等腰直角三角形，分别是：△ABC、△ADC、△ABD、△BCD；△AOB、△BOC、△COD、△AOD.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD练一练3.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝，面积为AD2＝8.2222,ADAOOD82DABCE例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形，求∠EAD的度数.证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.例2如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDFE(2)延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.CM例3如图，正方形ABCD中，对角线交于点O，E是OC上一点，AG⊥BE于G，交OB于点F，求证：OE=OF.ADBECGFO例4如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.ABCDPEF解:连接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四边形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,BD垂直平分AC,∴四边形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.归纳2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等A当堂练习3．在正方形ABC中,∠ADB=,∠DAC=,∠BOC=.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3题图第4题图45°5.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，说明AE=CG.ABCDEFG6.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm．222cm,ACABBC22（补充1）如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE，求证:AF=BC+FC.（补充2）如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,NN∥AB且MN分别交0A、0B于M、N.求证:BM=CN.（补充3）在正方形ABCD中,(1)已知,如图①,点E、F分别在BG、CD上,且AE⊥BF,垂足为M.求证:AE=BF.(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上,且GE⊥BF,垂足为M.求证:GE=BF.(3)如图③,如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足为M.求证:GE=HF.课堂小结正方形有哪些性质？1.边？2.角？3.对角线？4.对称性？课后作业1.习题1.7第3题2.《典中点》第9、10页