与矩形相关的折叠问题解答方法

与矩形相关的折叠问题金山初级中学庄士忠201508将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。一、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点CD，分别落在CD，的位置上，EC交AD于点G．已知58EFG°，那么BEG°．解析：根据矩形的性质AD∥BC，有∠EFG=∠FEC=58°，再由折叠可知，∠FEC=∠C′EF=58°，由此得∠BEG=64°例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为()．(A)60°(B)75°(C)90°(D)95°分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。二、求线段长度例3、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）（A）34（B）33（C）24（D）８解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt△ADE中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x，则FC=x33，在Rt△EFC中由勾股定理求得x=32,则EF=32，在Rt△AEF中，由勾股定理得AF=34。故选A。ABCDEFABECDFGCD分析：在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决。三、求图形面积例4、如图，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（）A．234cmB．236cmC．238cmD．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形，其面积为22122，因此着色部分的面积=长方形纸条面积－两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm）。故选B。分析：可以用动操作加强感性认识，注意重叠部分的计算方法。四、说明数量及位置关系例5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE．证明：（1）BFDF．（2）AEBD∥．分析：（1）欲证明BF=DF，只需证∠FBD=∠FDB；（2）欲证明AEBD∥，则需证AEBDBE。由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD，又因为AE=AE，得△AEB≌△EAD，所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=21（180°-∠AFE），而∠DBE=21（180°-∠BFD）因此AEBDBE。解：（1）由折叠可知，∠FBD=∠CBD因为AD∥BC，所以∠FDB=∠CBD所以∠FBD=∠FDBBFDF∴（2）因为四边形ABCD是矩形所以AB=DC，AD=BC由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD又因为AE=AE所以△AEB≌△EAD，所以∠AEB=∠EAD，所以∠AEB=21（180°-∠AFE），而∠DBE=21（180°-∠BFD），∠AFE=∠BFD所以AEBDBE所以AE∥BD五、判断图形形状例6、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。图1-1ABCDEFOACBED（1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来。（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来。（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是。分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目。因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以列勾股定理的等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。例7、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。（1）找出图中全等的三角形，并证明。（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形。F132CBAEDAF132CBAEDA例8、如图，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M．(1)试判断△MEF的形状，并说明你的理由；(2)如图，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并说明你的理由；(3)当∠BFE＝_________度时，四边形MNFE是菱形．分析：（1）由折叠可知∠MFE=∠EFB，再由∠MEF=∠EFB得∠MEF=∠MFE，所以ME=MF，因此△MEF为等腰三角形；（2）由（1）ME=MF，同理MF=NF，所以ME=NF，再由ME∥NF得四边形MNFE为平行四边形（3）若四边形MNFE是菱形，则ME=EF，由ME=MF得ME=MF=EF，△EFM是等边三角形，所以∠MFE=60°，由折叠知∠BFE=∠MFE=60°。解：（1）△MEF为等腰三角形理由：因为AD∥BC所以∠MEF=∠EFB由折叠可知∠MFE=∠EFB所以∠MEF=∠MFE所以ME=MF所以△MEF为等腰三角形（2）四边形MNFE为平行四边形理由：因为ME=MF，同理NF=MF所以ME=NF因为ME∥NF所以四边形MNFE为平行四边形（3）60。说明：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系。六、综合运用例8、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠55CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD△与ADE△是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。解：（1）OCD△与ADE△相似。理由如下：由折叠知，90CDEB°，1290∴°，139023.，又90CODDAE∵°，OCDADE∴△∽△。ABCEFDA’B’ABCEFDA’B’D’C’MMN（2）3tan4AEEDAAD∵，∴设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。358OCABAEEBAEDEttt∴。由（1）OCDADE△∽△，得OCCDADDE，845tCDtt∴，10CDt∴。在DCE△中，222CDDECE∵，222(10)(5)(55)tt∴，解得t=1。∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，1038kbb，∴，解得128kb，，182yx∴，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，y=2x－12。如图：准确画出两条直线。总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！OxyCBEDPMGlNAF