倾斜角与斜率

新知探究题型探究感悟提升【课标要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．3.1.1倾斜角与斜率3.1直线的倾斜角与斜率新知探究题型探究感悟提升【核心扫描】1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)新知探究题型探究感悟提升1．倾斜角的概念和范围当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_______与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴_____或_____时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是____≤α＜_____．温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：(1)直线与x轴相交；(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向新知导学正方向向上平行重合0°180°新知探究题型探究感悟提升2．斜率的概念及斜率公式定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝________取值范围当α＝0°时，______;当0°＜α＜90°时，_______;当90°＜α＜180°时，_________；当α＝90°时，斜率___________过两点的直线的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝________＝y1－y2x1－x2(x1≠x2)y2－y1x2－x1正切值tanαk＝0k＞0k＜0不存在新知探究题型探究感悟提升温馨提示(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：直线情况平行(或重合)于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升α的大小0°0°α90°90°90°α180°斜率的取值范围0(0，＋∞)不存在(－∞，0)斜率的增减性单调增单调增新知探究题型探究感悟提升探究点1直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？提示是．探究点2(1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？(2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？提示(1)90°不存在(2)无关互动探究新知探究题型探究感悟提升类型一直线的倾斜角与斜率的概念【例1】已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．[思路探索]直线的倾斜角的定义中强调直线向上方向与x轴正向所成的角，才是直线的倾斜角，因而将l与y轴正向所成的30°角转化即可．新知探究题型探究感悟提升解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.答案60°或120°[规律方法](1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tanα在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．新知探究题型探究感悟提升【活学活用1】(1)已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为()．A．135°B．90°C．45°D．30°(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()．A．k1＜k2＜k3B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3D．k3＜k2＜k1新知探究题型探究感悟提升解析(1)如图，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0，0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，选A.答案(1)C(2)A新知探究题型探究感悟提升【例2】已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．[思路探索]由已知画出图形，由斜率公式求出kPA，kPB，利用数形结合思想解决．类型二求斜率及其范围解根据题中的条件可画出图形，如图所示，又可得直线PA的斜率kPA＝－32，直线PB的斜率kPB＝43，新知探究题型探究感悟提升结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为43，＋∞，当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是－∞，－32.综上可知，直线l的斜率的取值范围是－∞，－32∪43，＋∞.[规律方法](1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．新知探究题型探究感悟提升【活学活用2】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．解如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.新知探究题型探究感悟提升类型三斜率公式的应用【例3】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求yx的最大值和最小值．[思路探索]化yx＝y－0x－0利用斜率公式数形结合求解．解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2)．由于yx的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝23，所以可求得yx的最大值为2，最小值为23.新知探究题型探究感悟提升[规律方法]若所求最值或范围的式子可化为y2－y1x2－x1的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．新知探究题型探究感悟提升【活学活用3】已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．解由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1，2)，B(－1，4)．新知探究题型探究感悟提升则kPA＝2－（－3）1－（－2）＝53，kPB＝4－（－3）－1－（－2）＝7.∴53≤k≤7，∴y＋3x＋2的最大值为7，最小值为53.新知探究题型探究感悟提升【示例】求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．[错解]由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角的取值范围是0°α90°.②当m1时，k＝1m－10，所以直线的倾斜角的取值范围是90°α180°.[错因分析]未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m＝1情况．易错辨析因忽略两点斜率公式的条件而致错新知探究题型探究感悟提升[正解]当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.当m≠1时，由斜率公式可得k＝3－2m－1＝1m－1.①当m＞1时，k＝1m－1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°.②当m＜1时，k＝1m－1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.[防范措施]学习定理、公式一定要注意它们的适用条件，对k＝tanα注意α≠90°；对k＝y2－y1x2－x1注意x1≠x2，对不满足公式适用条件的可能情况，要多加考虑，不可忽略.新知探究题型探究感悟提升1．下列说法中，正确的是()．A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα＞0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tanα，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sinα＝0，故C不正确，故选D.答案D课堂达标新知探究题型探究感悟提升2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()．A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.答案C3．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为________．解析由过两点的直线的斜率公式，知直线AB的斜率为4－20－1＝－2.答案－2新知探究题型探究感悟提升4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()．A．1B．5C．－1D．－5解析由斜率公式可得：y＋34－2＝tan135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.答案D新知探究题型探究感悟提升5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.解①当点P在x轴上时，设点P(a，0)，∵A(1，2)，∴k＝0－2a－1＝－2a－1.又∵直线PA的倾斜角为60°，∴tan60°＝－2a－1.解得a＝1－233.∴点P的坐标为1－233，0.②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b＝2－3，∴点P的坐标为(0，2－3)．新知探究题型探究感悟提升1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解k＝tanα(α≠90°)在0°≤α＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.课堂小结