实数及其运算

教材同步复习第一部分第一章数与式课时1实数及其运算知识要点·归纳知识点一实数的分类及正负数的意义1．实数的分类1按定义分有理数①____________0②____________有限小数或无限循环小数③__________正无理数负无理数无限不循环小数(2)按大小分：正实数、④_______、负实数．正有理数负有理数无理数022．有理数和无理数(1)概念：⑤________和⑥________统称为有理数；无限⑦__________小数叫做无理数．2常见无理数的四种形式a.开方开不尽的数，如2，3，5等；b.含有根号的三角函数值，如sin60°，cos30°，sin45°，cos45°，tan60°，tan30°等；c.有规律的无限不循环小数，如0.010010001…相邻两个1之间依次多一个0；d.π及化简后含π的数，如5π，π3等.整数分数不循环33．正数和负数(1)概念：大于0的数叫做正数，在正数前面加上“－”的数叫做负数．(2)正负数的意义：用来表示具有相反意义的量．如“比0高的得分与比0低的得分”“零上温度与零下温度”“盈利额与亏损额”“收入与支出”都是具有相反意义的量．【注意】0既不是正数也不是负数．4【夯实基础】1．如果向东70米记作＋70米，那么向西50米可记作________米．2．在实数3，π2，0.59,tan45°，327，236，cos30°，π0，0.101001…(相邻两个1之间依次多一个0)中，是有理数的有_________________________________，是无理数的有_________________________________________________________________.－500.59，tan45°，327，236，π03，π2，cos30°，0.101001…(相邻两个1之间依次多一个0)5知识点二数轴、相反数、绝对值、倒数名称定义性质数轴在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴(1)数轴上的点与实数一一对应；(2)数轴上两点之间的距离即两点所表示的数的差的绝对值；(3)数轴上右边的数总比左边的大6名称定义性质相反数只有⑧________不同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是－a(1)0的相反数为0；(2)若a，b互为相反数，则a＋b＝0；(3)在数轴上，表示互为相反数的两个数的点位于原点⑨________，且到原点的距离相等绝对值在数轴上表示数a的点与原点的⑩__________叫做数a的绝对值，记作|a|(1)|a|＝aa0，0a＝0，－aa0，绝对值具有非负性；(2)离原点越远的数的绝对值⑪________倒数乘积为⑫_____的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为⑬______(1)ab＝1⇔a，b互为倒数；(2)0没有倒数；(3)倒数等于它本身的数是1或－1符号两侧距离越大11a7【夯实基础】3．如图，数轴上点A所表示的数的相反数是_____.4．－5的相反数是_____.2585．－2019的绝对值是()A．2019B．－2019C．12019D．－120196．－25的倒数是()A．25B．52C．－25D．－52AD9知识点三实数的大小比较直接比较法正数0负数数轴法在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大绝对值法两个正数比较大小，绝对值大的数比较大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即a0，b0，若|a||b|，则ab平方比较法对任意正实数a，b，有：a2b⇔ab(适用于含有根式的数的大小比较或二次根式的估值)作差法设a，b是两个任意实数，则a－b0⇔ab，a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b作商法设a，b是两个任意正实数，则ab1⇔ab，ab1⇔ab，ab＝1⇔a＝b10【夯实基础】7．下列四个实数中，最大的数是()A．2B．3C．0D．－18．将实数5，π，0，－6由小到大用“”号连起来，可表示为__________________.A－605π111．常见的实数运算知识点四实数的运算运算法则乘方an＝a·a·…·an个a零次幂a0＝⑭_______(a≠0)，见到零次幂，就写1负整数指数幂a－p＝⑮_____(a≠0，p为正整数)，特别地，a－1＝⑯________(a≠0)去绝对值符号|a－b|＝a－bab，0a＝b，b－aab，关键在于比较a，b的大小11ap1ap12运算法则－1的奇偶次幂－1的奇数次幂为－1；－1的偶数次幂为1；如(－1)2019＝⑰_________，(－1)2018＝⑱_______特殊角的三角函数值sin30°＝cos60°＝⑲________；sin45°＝cos45°＝⑳________；cos30°＝sin60°＝○21________；tan30°＝○22________；tan45°＝○23_______；tan60°＝○24________常见数的开方4＝○25_______，9＝○26_______，12＝○27_________，16＝○28_______，18＝○29_______，25＝○30_______，38＝○31_______，3－27＝○32_______－111222323313232343252－3132．实数的四则运算法则(1)加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值○33________；绝对值不相等的异号两数相加，取○34__________较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的○35__________；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．(2)减法：减去一个数，等于加上这个数的○36__________，即a－b＝a＋(－b)．相加绝对值绝对值相反数14(3)乘法：两数相乘，同号得○37______，异号得○38______，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0，即ab＝|a|·|b|a，b同号，－|a|·|b|a，b异号，0a或b为零.(4)除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的○39________，即a÷b＝a·1b(b≠0)．正负倒数153．实数混合运算的步骤(1)先计算出包含每小项的值(如：零次幂、负整数指数幂、根式运算、－1的奇偶次幂、乘方、去绝对值符号、开方、特殊角的三角函数值)；(2)根据实数的运算顺序计算：先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的(无法化简的项可直接连同前面的符号照搬到下一步)；(3)同级运算：按从左到右的顺序进行运算；(4)最后得出计算结果．16【夯实基础】9．(－2)3＝_______；(－2019)0＝_____；|2－2|＝_________；(－12)－2＝_____；(－1)2019＝_______；tan45°－sin30°＝______；16＋9＝_____.－812－24－11271710．计算：(－1)2019－(12)－2＋2sin45°＋|2－5|.解：原式＝－1－4＋2×22＋5－2＝－1－4＋2＋5－2＝0.1811．计算：(－12)－1＋|3－2|＋tan60°－(π－2)0.解：原式＝－2＋2－3＋3－1＝－1.191．科学记数法(1)概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤|a|10，n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．(2)n的确定：①当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；②当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点前的0)．【注意】对于含计数(量)单位的数字用科学记数法表示时，可先把计数(量)单位转化为数字，然后用科学记数法来表示．2．近似数一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．知识点五科学记数法与近似数20【夯实基础】12．芝麻作为食品和药物，均被广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学记数法表示为()A．2.01×10－6千克B．0.201×10－5千克C．20.1×10－7千克D．2.01×10－7千克A211．定义与性质知识点六平方根、算术平方根、立方根与非负数的性质平方根算术平方根立方根定义∵x2＝a(a≥0)，∴x＝±a∵x2＝a(a≥0)，∴x＝a∵x3＝a，∴x＝3a表示方法±aa3aa的取值a≥0a≥0a是任何数正数互为相反数(两个)正数(一个)正数(一个)0000性质负数没有没有负数(一个)222．非负数的性质(1)常见的非负数有a≥0(a≥0)，|a|≥0，a2≥0；(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，例如：若|a|＋b2＋c＝0，则有a＝b＝c＝0.23【夯实基础】13．16的平方根是_______；16的平方根是_________；16的算术平方根是_____；－27的立方根是_______.14．若x＋3＋|y－2|＝0，则(x＋y)2019＝_______.15．若|2＋2x|＋(x＋y)2＝0，则yx＝_____.±4±22－3－1124【例1】(1)(2018·绍兴)如果向东走2m记为＋2m，则向西走3m可记为()A．＋3mB．＋2mC．－3mD．－2m重难点·突破考点1实数及相关概念(重点)C25(2)(2018·泰州)－(－2)等于()A．－2B．2C．12D．±2(3)(2018·云南)－1的绝对值是_____.B1【思路点拨】(1)根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．(2)根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．(3)一个负数的绝对值是它的相反数．【解答】(1)若向东走2m记作＋2m，则向西走3m记作－3m，故选C．(2)－(－2)＝2，故选B．(3)∵|－1|＝1，∴－1的绝对值是1.26本题考查正负数的表示方法、相反数、绝对值的相关概念.相反意义的量可用正数和负数表示．在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.27【例2】(2018·宁波)在－3，－1,0,1这四个数中，最小的数是()A．－3B．－1C．0D．1【思路点拨】根据有理数大小比较法则(正数大于0,0大于一切负数，正数大于一切负数)比较即可．【解答】根据有理数比较大小的方法，得－3＜－1＜0＜1，最小的数是－3，故选A．考点2实数的大小比较A28本题考查有理数的大小比较．特别强调，两个负数比较大小时，其绝对值大的反而小．还可以将各数表示在数轴上，按照数轴左边的数始终小于右边的数来比较．29考点3实数的运算(高频考点)【例3】(2018·怀化)计算：2sin30°－(π－2)0＋|3－1|＋(12)－1.【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值，零指数幂的性质，绝对值化简以及负整数指数幂的性质，计算即可．【解答】原式＝2×12－1＋3－1＋2＝3＋1.30本题考查实数的运算．解题的关键是掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂及负整数指数幂的性质．一定要注意：①am·an＝am＋n；②任何数或者式(0除外)的0次幂都等于1；③任何数或者式(a)的负整数(－p)次幂等于它的正整数(p)次幂的倒数，即a－p＝1ap(a≠0，p为正整数)．)31【例4】(2018·东营)东营市大力推动新旧动能转换，产业转型升级迈出新步伐．建立了新旧动能转换项目库，筛选论证项目377个，计划总投资4147亿元.4147亿元用科学记数法表示为________________元．【思路点拨】根据科学记数法的表示形式确定a和n的值．【解答】4147亿元用科学记数法表示为4147×108＝4.147×1011元．考点4科学记数法(高频考点)4.147×101132本题考查用科学记数法表示