2014年考研数学模拟试题(数学一)

2014年考研数学模拟试题（数学一）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()fx在(,)内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（）.（A）sin()fx（B）0sin()xtftdt（C）0(sin)xftdt（D）0[sin()]xtftdt解选择B.由题设知，sin()tft为偶函数，故0sin()xtftdt为奇函数.2.设111e,0,()1e1,0,xxxfxx则0x是()fx的（）.（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点解选择B.11001elim()lim11exxxxfx，11001elim()lim11exxxxfx，故0x是()fx的跳跃间断点.3.若函数()fx与()gx在(,)内可导，且()()fxgx，则必有（）.（A）()()fxgx（B）()()fxgx（C）00lim()lim()xxxxfxgx（D）00()()xxftdtgtdt解选择C.由函数()fx与()gx在(,)内可导知，()fx与()gx在(,)内连续，00lim()()xxfxfx，00lim()()xxgxgx，而00()()fxgx，故00lim()lim()xxxxfxgx.4.已知级数11(1)nnna和21nna分别收敛于,ab，则级数1nna（）.【C】(A)不一定收敛(B)必收敛，和为2ab(C)必收敛，和为2ab(D)必收敛，和为2ab解选择D.由级数11(1)nnna收敛知，lim0nna，设11(1)nnna，21nna1nna的前n项和分别为,,nnnsS，则lim,limnnnnsaSb，2122kkaaa1234212242()2()kkkaaaaaaaaa22kksS，故22limlim(2)2kkkkksSab，21221limlim()2kkkkkaab，所以lim2nnab，级数1nna收敛，和为2ab.5.设矩阵A与101020101B相似，则()(2)rArAE（）.(A)3(B)4(C)5(D)6解选择A.矩阵A与B相似，则2AE与2BE相似，故()(2)()(2)213rArAErBrBE.6.设3阶方阵A的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,，令312(3,,2)P，则1PAP（）.（A）900010004（B）300010002（C）100020003（D）100040009解因为3123,,2分别为A的对应特征值3,1,2的特征向量，故1PAP300010002.7.设随机变量X服从[1,1]上的均匀分布，则X与eXY（）.（A）不相关（B）相关（C）独立（D）相关且不独立解选择A.经计算得，(,)(,e)(e)e0XXXCovXYCovXEXEXE，0XY.8.设1,,nXX是取自正态总体(0,1)N一个简单随机样本，则下列结论中错误的是（）.（A）~(0,1)nXN（B）22(1)~(1)nSn（C）~(1)nXtnS（D）2121~(1,)niinXFnX解选择D.由一个正态总体的抽样分布知A，B，C都正确，222211~(1),~()niiXXn，但是它们不独立，不能推出2121~(1,)niinXFnX.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9.设函数(,)fxy具有连续偏导数，且2(,234)fxxxx，(1,3)2xf，则(1,3)yf.解答案为1.方程2(,234)fxxxx两边对x求导，得22(,234)(,234)(43)1xyfxxxfxxxx，令1x，得(1,3)(1,3)1xyff，故(1,3)1yf.10.微分方程(e1)1xyy的通解为.解答案为ee(1e)xxyC.(e1)(e1)e[e]xxdxdxydxCeeeeee(ee)e(e)e(1e)xxxxxxxxxdxCCC.11.设20cosnnxanx，则2a.解答案为1.2202cos21axxdx12.设S为锥面22(01)zxyz外侧，则Sydydz.解答案为0.S关于yoz面反向对称，y关于x为偶函数，故0Sydydz.13.设A为n阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax的通解为.解答案为T(1,1,,1)k，k为任意常数.由题设知，*()1rA，()1rAn，()1nrA且*AAAEO，故*A的列向量T(1,1,,1)是0Ax的基础解系.14.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布(0,1)N，则max(,)0PXY.解答案为34.max(,)01max(,)010,0PXYPXYPXY231001(0)4PXPY.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分9分）设(,)ufxz，而(,)zzxy是由方程()zxyz所确定的隐函数，其中f具有连续偏导数，而具有连续导数，求du.解取全微分xzdufdxfdz，()()()1()dxzdydzdxzdyyzdzdzyz，故()11zzxffdufdxdyyy.16.（本题满分10分）设()fx在(,)上连续，且0()ecostxnfxtdtx.⑴求()fx；⑵设(0)naf，求级数1112nnna的和.解⑴令uxt，则000()e()ee()etxuxuxxnnnnxfxtdtfudufudu，故0e()ecosxuxnnfudux，即0()eecosuxxnnfudux，上式两边对x求导，得1()eecosesinxxxnnnfxxxn，即1()cossinfxxxn.⑵1(0)nafn，级数111111122nnnnnan，1100111()1111ln(1),11nxxnnnxsxxxdxxdxxxxnx11111()1ln2222nnnas.17.（本题满分10分）设球体2222(0)xyzaza的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比（比例系数0k），求球体的质量M及球体绕z轴旋转的转动惯量zI.解由题设知，球体上任一点的密度222(,,)kxyzxyz，球体的质量222(,,)kMxyzdVdVxyz22cos2220004sin3akddrdrkar.转动惯量2222222()()(,,)zkxyIxyxyzdVdVxyz22cos334200016sin35addkrdrka.18.（本题满分11分）设函数()fx在[2,4]上连续，在(2,4)内可导，且423(2)(1)()fxfxdx，证明：存在(2,4)，使得2()()1ff.证令2()(1)()Fxxfx，则2()2(1)()(1)()Fxxfxxfx，由积分中值定理知，存在[3,4]c，使得4223(2)(1)()(1)()fxfxdxcfc，即(2)()FFc，由罗尔定理知，存在(2,)(2,4)c，使得()0F，即22(1)()(1)()0ff，即2()()1ff.19.（本题满分10分）（数学一）证明：在右半平面0x上，曲线积分22(4)()4Lxydyxydxxy与路径无关，并求一个二元函数(,)uuxy，使得22(4)()4xydyxydxduxy.证22224,44xyxyPQxyxy，222222222242(4)48(4)(4)Qxyxxyyxyxxxyxy，2222222222(4)8()48(4)(4)Pxyyxyyxyxyxyxy，在右半平面0x上，QPxy，故曲线积分22(4)()4Lxydyxydxxy与路径无关.解所求函数(,)22(1,0)(4)()4xyxydyxydxuxy，取积分路径为(1,0)到(,0)x，再到(,)xy的折线段，则22221001(4)121ln[arctanln(4)]422yxyxydyyudxxxyxxyx22121arctanln(4)22yxyx.20.（本题满分11分）设二维随机向量(,)XY联合概率密度为,0,(,)0,yxexyfxy其它.求⑴条件概率密度()YXfyx；⑵ZXY概率密度.解画出联合概率密度的非零区域.⑴关于的边缘密度0,0,()(,),0,Xxxfxfxydyxex条件概率密度0,,(,)()(),.YXxyXyxfxyfyxfxeyx⑵ZXY的取值范围为(0,)当0z时，()0ZFz，当0z时，()(,)ZxyzFzPZzPXYzfxydxdy222000()zzzzxzxyyxxzxxdxxedydxxedyxeedx2200zzxzxxedxexedx20,0()()(1),02zZzzfzFzzeez21.（本题满分11分）设1,,nXX是取自总体X一个简单随机样本，X的概率密度为ln,0,()010,0,xxfxx，⑴求未知参数的矩估计量；⑵求未知参数的最大似然估计量.解⑴1()lnEXxfxdx，令11lnXXEXe，所以的矩估计为1ˆXe.⑵似然函数11()ln(ln)(ln)ninixxxnL，1ln()()lnln(ln)niiLxn1ln()1()0lnniiLnx，解得1lnx，1xe，所以的最大似然估计为xe1.22.（11分）已知两个向量组TT121,2,3,1,0,1与TT121,2,,4,1,5t.⑴t为何值时，两个向量组等价？⑵两个向量组等价时，求出它们之间的线性表示式.解⑴对矩阵1212,,,A作初等行变换，得121211141114,,,2021~02473150237Att1114~02470010t，当1t时，12112(,,)(,)rr，12212(,,)(,)rr，12,可由12,线性表示，且12112(,,)(,)rr，12212(,,)(,)rr，12,可由12,线性表示，即