2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第四单元第四节 定积分与微积分基本定理

第四单元导数及其应用知识体系第四节定积分与微积分基本定理基础梳理1.定积分的概念（1）定积分的定义和相关概念①一般地，设函数f(x)在区间［a,b］上有定义，将区间［a,b］等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx（Δx=），在每个小区间上取一点，依次为x1,x2,…,xi,…,xn.作和Sn=f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xi)Δx+…+f(xn)Δx,如果Δx无限趋近于0（即n趋向于+∞）时，Sn无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记为S=.②在f(x)dx中，分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间.（2）定积分的几何意义若f(x)在区间［a,b］上连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.banf(x)dx[a,b]a,bbababa2.微积分基本定理对于被积函数f(x),如果F′(x)=f(x)，则f(x)dx=,这个结论叫做微积分基本定理,又叫.为了方便，常把F（b）-F(a)记成,即f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a).bababaF(x)F(b)-F(a)baF(x)典例分析题型一求定积分【例1】求下列定积分.（1）(+2x+1)dx;(2)(sinx-cosx)dx;(3)dx.2x2102211xxx分析根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的原函数，利用微积分基本公式求值.解（1）.(2)(3)32222222111122219212111133xdxxdxdxxxxxx22000122219sincossincos(cos)sin2001113xxxdxxdxxxxx23211122122222211375lnln2ln211123236xdxxdxdxdxxxxxxxx学后反思(1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.（2）求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.①有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，即［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx=f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx.babababa②常数因子提到积分符号外边，即kf(x)dx=kf(x)dx.③当积分上限、下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dx=-f(x)dx.④积分的可加性，若c∈[a,b]，则有f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx.bababababacabc举一反三1.求下列定积分.（1）x(x+1)dx;(2)dx.202211xxe解析:(1)原式=(+x)dx=dx+xdx=.(2)原式=2x2x2020202322221814210123233xxx222122421221111lnln222211xxdxdxxeeeex题型二求分段函数的定积分【例2】求定积分|3-2x|dx.21分析利用定积分的可加性通过讨论x的取值范围去掉绝对值符号，再求函数的定积分解|3-2x|dx=|3-2x|dx+|3-2x|dx=(3-2x)dx+(2x-3)dx=(3x-)|+(-3x)|=.213212323212322x2x321232学后反思如果被积函数是绝对值函数，可以利用定积分性质f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx，根据函数的定义域，将积分区间分成若干部分，代入相应解析式，分别求出积分值，相加即可.bacabc12举一反三2.求下列定积分.(1)若f(x)=(x≤0)cosx-1(x＞0),求f(x)dx;(2)|-4|dx.2x212x30解析：(1)f(x)dx=dx+(cosx-1)dx=|+sinx|-x|=+1-=-.(2)|-4|dx=(4-)dx+(-4)dx=（4x-）|+（-4x）|=.212x0220213x0120201322432x30202x2x32313x20313x32233题型三定积分的几何意义【例3】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积.(1)y=0,y=,x=2;(2)y=x-2,x=.x2y分析先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运.解（1）曲线所围成的区域如图1所示.设此面积为S,则S=(-0)dx=dx==.（2）方法一:曲线所围成的平面区域如图2所示.S=S1+S2,S1由y=,y=-,x=1围成；S2由y=,y=x-2,x=1和x=4围成.20xx20322203x32242332xxx∴S1=［-(-)］dx=2dx,S2=［-(x-2)］dx=(-x+2)dx,∴S=2dx+(-x+2)dx=2dx+dx-xdx+2dx===.方法二：S=(y+2-)dy==.10xx10x41x41x10x41x10x41x4141332221444221220111332xxxx32222211224233322444162111866864333222212y2222212211123yyy18192422332学后反思用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分函数，再确定积分上、下限，当计算公式S=|f(x)-g(x)|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时，面积要分块计算,或换积分变量，这样就不用分块计算求和.ba举一反三3.求正弦函数y=sinx与直线x=，直线x=及x轴所围成图形的面积.443解析：围成图形如图所示.S=4sinxdx-sinxdx=-cosx+cosx=.443443322题型四定积分的物理应用【例4】列车以速度为72km/h行驶，当制动时，列车获得加速度为a=-0.4m/,问:列车应在进站前多少秒的时候，以及离车站多远处开始制动?2s分析因列车停在车站时，速度为0,故应先求出速度的表达式，之后令v=0,求出t;再根据v和t应用定积分求出路程.解72km/h=720003600m/s=20m/s.设列车开始制动到t秒后的速度为v,则v=v0+adt=20-0.4dt=20-0.4t,令v=0,得t=50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s,则s=vdt=(20-0.4t)dt=500(m),所以列车应在进站前50s,以及离车站500m处开始制动.0t0t500500学后反思作匀变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个物体在一段时间内的位移，只要求出其运动的速度函数，再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即可，即物体作变速直线运动的路程s,等于其速度函数v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a,b]上的定积分v(t)dt.另外,物体作变速直线运动的速度v等于加速度函数a=a(t)在时间区间[a,b]上的定积分a(t)dt.baba举一反三4.设力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F（x）=+1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所做的功.2x解析：变力F（x）=+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=F(x)dx=(+1)dx==342.2x1011012x310113xx题型五定积分的综合应用【例5】(14分)如图所示，已知曲线C1:y=与曲线C2:y=-+2ax(a＞1)交于O、A，直线x=t(0＜t≤1)与曲线C1、C2分别相交于D、B，连接OD、DA、AB.（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f(t);(2)求函数S=f(t)在区间(0,1］上的最大值.2x2x分析(1)曲边四边形分为△ABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积.（2）可利用导数求最大值.解（1）由y=,y=-+2ax,解得x=0,x=a,y=0y=,…………2′∴O(0,0),A(a,).又由已知得B(t,-+2at),D(t,),…………………………3′∴S=(-+2ax)dx-12t×+(-+2at-)·(a-t)=+(-+at)(a-t)==.……………………………………5′∴S=f(t)=(0＜t≤1).2x2x2a2t2t0t2x2t122t2t2t32311032taxxt32332211232aaatttttt32216aattt32216aattt2a(2)f′(t)=-2at+.令f′(t)=0,即-2at+=0,解得t=(2-)a或t=(2+)a.∵0＜t≤1,a＞1,∴t=(2+)a应舍去.………………………………7′若(2-)a≥1，即a≥时，∵0＜t≤1,∴f′(t)≥0,∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，f(t)的最大值是f(1)=-a+.………………………………………9′若(2-)a＜1,即1＜a＜时，当0＜t＜(2-)a时,f′(t)＞0;当(2-)a＜t≤1时，f′(t)＜0.∴f(t)在区间(0,(2-)a]上单调递增，在区间[(2-)a,1]上单调递减.∴f(t)的最大值是f((2-)a)=.……………………………12′综上所述，f(t)max=-a+,a≥,,1＜a＜.14′2t2a12212t2a22221222222a162222222223223122622232222aaaaaa2a1632223a222222学后反思应用导数与积分求面积的最值，其基本思路是：（1）将面积表示成某个变量的函数，若阴影部分的边界不同，可分不同情况求解；或换用其他积分变量，不用分块求.（2）利用求最值的方法求解，在证明两部分的面积相等时,如果用常规方法不易求出，可应用定积分求曲边梯形的面积.举一反三5.已知二次函数f(x)=a+bx+c,直线l1:y=-+8t(0≤t≤2,t为常数）,l2:x=2.若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（1）求a,b,c的值；（2）求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；（3）若g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.2x2t解析：(1)由图形知,c=0,a×+b×8+c=0,解得a=-1,=16,b=8,c=0,∴函数f(x)的解析式为f(x)=-+8x.(2)由y=-+8t,y=-+8x,得-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l1与f(x)的图象的左交点坐标为(t,-+8t).由定积分的几何意义,知S(t)=[(-+8t)-(-+8x)]dx+[(-x2+8x)-(-t2+8t)\]dx==(0≤t≤2).28244acba2x2x2t2x2t0t2t2x2t33222228448033ttxtxtxxtxxt32440101633ttt(3)令φ(x)=g(x)-f(x)=-8x+6lnx+m.∵x＞0,∴要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有两个不同的交点，则函数φ(x)=-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点.φ′(x)=2x-8+=(x＞0).当x∈(0,1)时，φ′