2012届高考复习方案数学理科(北师版)第2单元第13讲-导数及其运算

第13讲│导数及其运算第13讲导数及其运算知识梳理1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝__________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________，即f′(x0)＝＝______________________.2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的________，简称______，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.第13讲│知识梳理f′(x0)或y′|x＝x0导函数导数limΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0fx＋Δx－fxΔx3．导数的几何意义(1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为______________________．(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的____________．(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的________．第13讲│知识梳理切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)瞬时速度加速度第13讲│知识梳理0nxn－1cosx－sinxexax·lnaf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(u)φ′(x)4．几种常见函数的导数(1)C是常数，则C′＝____；(2)(xn)′＝______(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝______；(4)(cosx)′＝________；(5)(lnx)′＝______；(logax)′＝________；(6)(ex)′＝____；(ax)′＝________.5．求导法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________.(2)[f(x)g(x)]′＝____________________.(3)fxgx′＝____________________.6．复合函数的导数对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，其构成的复合函数记为y＝f(φ(x))，其中u为中间变量，则复合函数y＝f(φ(x))的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝__________.1x1x·lnaf′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)要点探究►探究点1导数的概念第13讲│要点探究例1函数f(x)在x＝x0处可导，用f′(x0)表示下列各式：(1)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝________；(2)limh→0fx0＋h－fx0－hh＝________.[思路]用导数的定义即可求解．[答案](1)2f′(x0)(2)2f′(x0)第13讲│要点探究[点评]利用导数定义解题，要充分体会导数定义的实质，表达式不同，但表达的实质可能相同．比如下面的变式题：[解析](1)原式＝2·limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)．(2)原式＝2·limh→0fx0＋h－fx0－h2h＝2f′(x0)．第13讲│要点探究[答案]B[解析]根据导数定义，分子中x0的增量应与分母相同，故选B.下列式子中与f′(x0)相等的是()(1)limΔx→0fx0－fx0－2Δx2Δx；(2)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－ΔxΔx；(3)limΔx→0fx0＋2Δx－fx0＋ΔxΔx；(4)limΔx→0fx0＋Δx－fx0－2ΔxΔx.A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)(3)D．(1)(2)(3)(4)[思路]紧扣导数定义，正确理解增量Δx的实质．►探究点2利用求导法则求导第13讲│要点探究[思路]先判断原函数的类型，再套用公式求解．例2下列函数求导运算正确的个数为：①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝1x·ln2；③(ex)′＝ex；④(xa)′＝axlna；⑤(cosx)′＝sinx.()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B第13讲│要点探究[解析]对于①，函数为指数函数，因此()3x′＝3xln3；对于②，函数为对数函数，因此()log2x′＝lnxln2′＝1x·ln2；对于③，函数为指数函数，因此()ex′＝ex；对于④，函数为幂函数，因此()xa′＝axa－1；对于⑤，函数为三角函数，因此()cosx′＝－sinx.以上只有②③两个正确．[点评]利用公式求导，不能混淆“幂函数”与“指数函数”的求导公式，不能混淆指数函数导数的系数与对数函数导数的系数．第13讲│要点探究例3求下列函数的导数：(1)y＝ax＋xa；(2)y＝x－x5x2；(3)y＝elnxlgx；(4)y＝x2sinx.[解答](1)y′＝(ax)′＋(xa)′＝axlna＋axa－1；(2)y＝x－x5x2＝x－32－x3，∴y′＝(x－32)′－(x3)′＝－32x－52－3x2；(3)y＝elnxlgx＝xlgx，y′＝(xlgx)′＝lgx＋1ln10；(4)y′＝x2sinx′＝2xsinx－x2cosxsin2x.第13讲│要点探究[点评]对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．第13讲│要点探究例4求下列各函数的导数：(1)y＝ln(x2＋1)；(2)y＝cos2(x2－x)；(3)y＝e－2xsin3x－π3.[思路]本例题中的函数均为复合函数，求导时需搞清复合的层次，注意使用整体的观点，弄清每一步是对哪一层求导，用什么公式求导．第13讲│要点探究[解答](1)y′＝[ln(x2＋1)]′＝1x2＋1(x2＋1)′＝1x2＋1×12x2＋1(x2＋1)′＝2x2x2＋12＝xx2＋1.(2)∵y＝cos2(x2－x)＝1＋cos2x2－2x2＝12＋cos2x2－2x2，∴y′＝12＋cos2x2－2x2′＝－(2x2－2x)′·12sin(2x2－2x)＝(1－2x)sin(2x2－2x)．(3)y′＝(e－2x)′sin3x－π3＋e－2xsin3x－π3′＝(－2x)′e－2xsin3x－π3＋3x－π3′e－2xcos3x－π3＝－2e－2xsin3x－π3＋3e－2xcos3x－π3.[点评]对复合函数求导，应分析清楚复合函数的复合层次，“由外到内”逐层求导，在中学数学中一般复合函数的复合层次不超过3层．►探究点3导数的几何意义第13讲│要点探究例5已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点？第13讲│要点探究[解答](1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4x－2，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20x－x0，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20x0＋1－4x0＋1x0－1＝0，∴x0＋1x0－22＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.第13讲│要点探究(3)设切点为x0，y0，故切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，－1，1.故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.(4)由4x－y－4＝0，y＝13x3＋43，消去y，得x3－12x＋16＝0即x－22x＋4＝0，∴x＝2或x＝－4代入4x－y－4＝0，求得y＝4或y＝－20.即公共点为(2,4)(切点)和(－4，－20)．∴除切点外，还有一个交点(－4，－20)．第13讲│要点探究[点评](1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；(2)对未知切点坐标的问题，一般是首先设出切点的坐标，然后根据需要三个方面出击，即利用“切点处的导数等于切线的斜率”，“切点在曲线上”，“切点在切线上”建立方程组求解；(3)切点的横坐标与该切点处的切线的斜率这两个量之间可以相互转化．另外，要注意曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，如．第13讲│要点探究设质点作直线运动，已知路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝3t2＋2t＋1.求：(1)从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)当t＝2时的瞬时速度；(3)当t＝2时的加速度．[思路](1)利用概念求函数f(x)的平均变化率为ΔyΔx；(2)瞬时速度为位移函数在某一时刻上的导数值；(3)加速度为速度函数在某一时刻上的导数值．第13讲│要点探究[解答](1)Δs＝s(3)－s(2)＝(3×32＋2×3＋1)－(3×22＋2×2＋1)＝17，∴ΔsΔt＝173－2＝17，表示从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均速度为17m/s.(2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)．即当t＝2时的瞬时速度为14m/s.(3)设该质点的速度为vm/s，则v(t)＝s′(t)＝6t＋2，∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6，即当t＝2时的加速度为6m/s2.[点评]导函数的实质是瞬时变化率，物理中的“某一时刻的速度”、“加速度”等概念都能用导数来刻画．规律总结第13讲│规律总结1．函数f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”，即瞬时变化率，f′(x0)是函数f(x)在导函数f′(x)当x＝x0时的函数值．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是指曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k切，此时切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．准确理解曲线的切线，需要注意的两个问题第13讲│规律总结(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个以上公共点；(2)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．4．要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同，“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率，而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程．第13讲│规律总结5．利用导数公式求导数时，先要根据这几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．另外，还要避免求导过程中指数或系数的运算失误．6．在求导数时，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用公式恒等变形可将函数转化为和或差形式，然后进行求导，这样可避免使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．7．复合函数求导，必须搞清复合层次，不能有漏掉的环节，要适当选取中间变量，弄清每一步对哪个变量求导，用什么公式求导．