高中数学 3.3.3《函数的最大(小)值与导数》课件 新人教A版选修1-1

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值；如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。极大值与极小值统称为极值。一、函数极值的定义：复习:如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值。如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)0，在x0右侧附近f’(x)0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值；(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)列表:检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.二、用导数法求解函数极值的步骤：一.最值的概念(最大值与最小值)新课讲授如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.)(xfba,1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一;注意:2.最大值一定大于或等于最小值.观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?极大:x=x1x=x2x=x3极小:abxyx1Ox2x3)(xfy)(maxafy)(1minxfy正确区分极值和最值(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，最值具有绝对性，极值具有相对性．(2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点处取得；极值有可能成为最值．(3)若连续函数在区间(a，b)内值只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．二.如何求函数的最值?(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数;如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值点与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值。解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50-+3112故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11，最小值为2)(xf)(xf例2求函数在[0,3]上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解:]3,0[,0)(,4)(2xxfxxf由解得x=2.34所以,函数4431)(3xxxf在[0,3]上的最大值是4,最小值是因为f(0)=4，f(2)=，f(3)=1x0（0，2）2（2，3）3-0+41)(xf)(xf34341、函数，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.13/12A练习432111432yxxx12fxxsinx求()在区间[0，2π]上的最值.2、0，π3、函数（）241xyxA.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值-2C.最大值为2，最小值-2D.无最值4、函数2()在（-,+)上（）fxxcosxA.是增函数B.是减函数C.有最大值D.有最小值CA2．函数y＝lnxx的最大值为()A.103B．eC．e2D．e－1解析：令y′＝lnx′x－lnx·x′x2＝1－lnxx2＝0.解得x＝e.当xe时，y′0；当0xe时，y′0.y极大值＝f(e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝1e.答案：D例3、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在点（1，－1）处取得极值，且f(－1)＝1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试求该函数的最值．思考：1、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值小结1、用导数求函数最值的方法步骤。2、正确区分极值最值。3、会用所学导数知识解决有关函数极值最值的综合问题。作业课本第99页A组6（1）（4）。