2020年数学一题目

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）当0x时，下列无穷小量中最高阶的是（）(A)dtext)1(02（B）dttx03)1ln(（C）dttxsin02sin（D）dttxcos103sin（2）设函数)(xf在区间)1,1(上有定义，且,0)(lim0xfx则（）（A）当0)(lim0xxfx时，)(xf在0x处可导（B）当0)(lim20xxfx时，)(xf在0x处可导（C）)(xf在0x处可导时，0)(lim0xxfx；（D）)(xf在0x处可导时，0)(lim20xxfx（3）),(yxf在)0,0(处可微，0)0,0(f，)0,0(1,,yxffn，非零向量n，则（）（A）22)0,0(),(),(,,limyxyxfyxnyx存在(B）22)0,0(),(),(,,limyxyxfyxnyx存在(B)22)0,0(),(),(,,limyxyxfyxyx存在（D）22)0,0(),(),(,,limyxyxfyxyx存在（4）R为幂级数nnnxa1收敛半径，r为实数，则（）(A)nnnxa212发散，则Rr（B）nnnxa212收敛，则Rr(B)Rr,nnnxa212发散(D)Rr，nnnxa212收敛（5）矩阵A由初等列变换为矩阵B，则（）(A)存在矩阵P，使BPA（B）存在矩阵P，使ABP（B）存在矩阵P，使APB（D）方程组0AX与0BX同解（6）已知1212121:cczbbyaaxl，2323232:cczbbyaaxl相交于一点，令3,2,1,icbaiiii，则（）(A)1可以由32，线性表示（B）2可以由31，线性表示(C)3可以由21，线性表示（D）321，，线性无关（7）,121)()(,0)(,41)()()(BCPACPABPCPBPAP则CBA,,恰好发生一个的概率为（）（A）43（B）32（C）21（D）125（8）设10021,XXX为来自总体X的简单随机样本，其中2110XPXP，)(x表示标准正态分布函数，则由中心极限定理可知，100155iiXP的近似值为（）（A）)1(-1（B）)1(（C）)2.0(1（D））（0.2二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写作答题纸指定的位置上.(9).____________)1ln(111lim0xexx(10)设)1ln(122ttytx，则.___________122tdxyd(11)设函数)(xf满足),0(0)()()(axfxfaxf且nfmf)0(,)0(，则0___________)(dxxf.（12）设函数dteyxfxyxt02),(，则.__________)1,1(2yxf（13）行列式.________011011110110aaaa(14)已知随机变量X服从区间)2,2（的均匀分布,XYsin，则._______),(YXCov三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）求函数xyyxyxf338),(的极值.（16）（本题满分10分）计算dyyxyxdxyxyxIL2222444，其中L为222yx，方向为逆时针方向.(17)（本题满分10分）设数列na满足.)21()1(,111nnanana证明：当1x时，幂级数nnnxa1收敛并求其和函数.(18)(本题满分10分）设为曲面)41(2222yxyxz下侧，)(xf为连续函数.计算dxdyzxyzfdxdzxyxyyfdydzyxxyxfI])([]2)([2)(.(19)(本题满分10分）设函数)(xf在20，上具有连续的导数，)(max,0)2()0(2,0xfMffx.证明(1)存在)2,0(使得Mf)((2)若对任意,)(),2,0(Mxfx则0M.（20)（本题满分11分）二次型22121122(,)44fxxxxxx经正交变换1122xyxyQ化为二次型22121122(,)4gyyayyyby，ba.求：（I）,ab的值；（II）正交矩阵Q（21）(本题满分11分）设A为2阶矩阵,),(AP，其中是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P是可逆阵;(2)若062AA，求APP1，并判断A是否可以相似对角化.(22)(本题满分11分）设随机变量321,,XXX相互独立，其中21,XX服从标准正态分布，3X的概率分布为211033XPXP，2331)1(XXXXY，求(1)求二维随机变量YX,1的分布函数，结果用标准正态分布(x)表示；(2)证明随机变量Y服从标准正态分布.（23）(本题满分11分）其他001)(tetFmt设某种元件的使用寿命T的分布函数为（1）求概率P{Tt}与P{TstTs}，其中s0,t0；（2）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为nttt,,21，若m已知，求的最大似然估计值^.