数列章末归纳总结

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修5第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5数列第一章第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识整合2知识结构1专题研究3第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识结构第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5知识整合第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5一、数列的概念与函数特征1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列还可以看作一个定义域为N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数的一列函数值．2．通项公式：如果数列{an}的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．3．an与Sn之间的关系：如果Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an.数列{an}的前n项和Sn与an之间的关系是an＝S1，n＝1Sn－Sn－1，n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修54．数列的分类(1)根据数列的项数可以对数列进行分类：项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．(2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类：①一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递增数列．②一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递减数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5③一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．④一个数列{an}，如果它的每一项都相等，那么这个数列叫作常数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修55．根据数列的通项公式判定数列的单调性(1)已知an＝f(n)，若f(x)的单调性可以确定，则{an}的单调性可以确定．(2)比较法①作差比较法n∈N＋，an＋1－an0⇒{an}为递增数列；n∈N＋，an＋1－an＝0⇒{an}为常数列；n∈N＋，an＋1－an0⇒{an}为递减数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5②对各项同号的数列，可用作商比较法．n∈N＋，an0(0)，an＋1an1(1)⇔{an}为递增数列；n∈N＋，an0(0)，an＋1an＝1⇔{an}为常数列；n∈N＋，an0(0)，an＋1an1(1)⇔{an}为递减数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5二、等差数列1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，则这个数列就叫等差数列，其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母d表示．即定义的表达式为an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)．2．通项公式：若数列{an}为等差数列，则an＝a1＋(n－1)D．3．前n项和公式：若数列{an}为等差数列，则前n项和Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12D．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修54．等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝a＋b2.5．等差数列的性质：(1)已知等差数列{an}的公差为d，且第m项为am，第n项为an，则an＝am＋(n－m)d；(2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，(m、n、p、q∈N＋)则am＋an＝ap＋aq；(3)若数列{an}满足Sn＝an2＋bn，则{an}为等差数列，且a1＝a＋b，d＝2a；第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5(4)若数列{an}满足Sn＝an2＋bn＋c(c≠0)，则{an}从第2项起成等差数列；(5)等差数列和的最大值、最小值．1°在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn有最大值；若a10，d0，则Sn有最小值．2°求Sn的最值的方法：①因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，所以可转化为二次函数求最值，但应注意n∈N＋；②利用an≥0，an＋10，则Sn为最大值；an≤0，an＋10，则Sn为最小值．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5三、等比数列1．定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此数列叫做等比数列；这个常数叫做等比数列的公比，用字母q表示．2．等比中项：若三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.3．通项公式：等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1.4．前n项和公式：若等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修55．等比数列的重要性质：(1)在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n，(k、l、m、n∈N＋)则ak·al＝am·an.(2)数列{an}为等比数列，则an＝a1qn－1＝a1q·qn.①q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；②q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；③q＝1时，{an}是常数列；④q0时，{an}是摆动数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修56．等差、等比数列的判定方法的区别．判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}为等差数列；an＋1an＝q(q为非零常数)⇔{an}为等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列．a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列；an＝cqn(c、q均是不为0的常数，n∈N＋)⇔{an}为等比数列；Sn＝kqn－k(k为常数，且q≠0,1)⇒{an}为等比数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5专题研究第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：数列通项公式的求法第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修51．知Sn求an[例1](1)已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n＋1n，求an；(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.[分析]利用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2，求数列{an}的通项公式．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[解析](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(1－2n)，当n＝1时，a1＝S1＝(－1)2×1＝1，适合上式．∴an＝(－1)n(1－2n)．(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，不满足上式．∴an＝5n＝12n－1n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[方法总结]已知Sn求an，即已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常忽略了条件n≥2而导致错误，因此必须验证n＝1时是否成立，若不成立，则通项公式只能用分段函数an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2来表示．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求通项an.[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－(n－1)2－3(n－1)－1＝2n＋2，又n＝1时，a1＝S1＝5不满足上式．∴an＝5n＝12n＋1n≥2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修52．累加法[例2](2014·全国大纲文，17)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．[解析](1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2.即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是k＝1n(ak＋1－ak)＝k＝1n(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5[方法总结]已知a1＝a，an＋1－an＝f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5已知{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n(n∈N＋)，求通项an.[解析]∵an＋1－an＝3n(n∈N＋)，∴a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，……an－an－1＝3n－1(n≥2)，第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5以上各式相加得an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1＝31－3n－11－3＝3n2－32，∴an＝a1＋3n2－32＝3n2－12(n≥2)．又a1＝1满足上式，∴an＝3n2－12(n∈N＋)．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修53．累乘法[例3]已知数列{an}中，a1＝12，Sn＝n2an，其中Sn是数列{an}的前n项和，求an.[分析]利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化后求解．[解析]由Sn＝n2an，得Sn－1＝(n－1)2an－1，两式相减，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2)，∴anan－1＝n－1n＋1(n≥2)．第一章章末归纳总结成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修5∴an＝(anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1)·a1＝(n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13)·12＝2×1n＋1×n×12＝1nn＋1(n≥2)．又∵当n＝1时，a1＝12也符合上式，∴an＝1nn＋1.第一章章末归纳总结成才之路