六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】111111223344556。【巩固】111......101111125960【巩固】2222109985443【例2】111111212312100公式的变式11221…nnn()当n分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101…例题精讲111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101……………()()()2100101200101199101求和公式推导：S1=1+2+3+4+5+S1=5+4+3+2+1【例3】111113355799101【巩固】计算：1111251335572325【巩固】2512512512512514881212162000200420042008【巩固】计算：32456712557711111616222229293×13×(12−15)+⋯【例4】计算：11111111()1288244880120168224288方法一：=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128=12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128方法二：=[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128=16×(22+26+212+220+230+242+256+272)=16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9)=16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19)【巩固】11111111612203042567290_______【巩固】11111113610152128一项隔一项来拆项=1+12×(1−13)+16+13×(12−15)+115+14×(13−17)+128【巩固】计算：1111111112612203042567290＝=12−(12−13)−⋯(19−110)【巩固】11111104088154238。=13×(12−15+15−18+⋯114−117)【例5】74.50.1611111813153563133.753.23【例6】计算：11111123420261220420=(1+2+⋯+20)+(1−12+12−13+⋯+120−121)【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270=。【巩固】计算：1122426153577____。【巩固】计算：1111111315356399143195【巩固】计算：15111929970198992612203097029900．=1−12+1−16+⋯+1−19900=99−(12+16+⋯+19900)【例7】111123234789【巩固】计算：1111232349899100【巩固】计算：1111135246357202224=14×(11×3−13×5+12×4−14×6+⋯+120×22−122×24)【巩固】999897112323434599100101=1−11×2×3+1−22×3×4+1−33×4×5+⋯1−9999×100×101【例8】11111123423453456678978910=13×(11×2×3−12×3×4+⋯+17×8×9−18×9×10)【例9】计算：57191232348910．=2+31×2×3+3+42×3×4+⋯+9+108×9×10【例10】123456121231234123451234561234567=1−11×2+31×2×3−11×2×3+41×2×3×4−11×2×3×4+⋯+71×2×3×4×5×6×7−11×2×3×4×5×6×7【巩固】计算：23993!4!100!.【例11】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)=2×12×(1−11+2)+3×13(11+2−11+2+3)+⋯+50×150×(11+2+⋯+49−11+2+⋯+50【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)（）【例12】5667788991056677889910【巩固】36579111357612203042=35+67+56+3+43×4+4+54×5+5+65×6+6+76×7【巩固】计算：1325791011193457820212435=13+34+25+57+78+4+54×5+3+73×7+3+83×8+5+7+75×7【巩固】123791117253571220283042【巩固】111112010263827233031415111912012312410119=17−717×726120=30−430×438123=41−341×327124=31−431×4【巩固】计算：57911131517191612203042567290【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算遇到失意伤心事，多想有一个懂你的人来指点迷津，因他懂你，会以我心，换你心，站在你的位置上思虑，为你排优解难。一个人，来这世间，必须懂得一些人情事理，才能不断成长。就像躬耕于陇亩的农人，必须懂得土地与种子的情怀，才能有所收获。一个女子，一生所求，莫过于找到一个懂她的人，执手白头，相伴终老。即使芦花暖鞋，菊花枕头，也觉温暖；即使粗食布衣，陋室简静，也觉舒适，一句“懂你”,叫人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路，蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的小路，不显山，不露水，路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋……瑟瑟严冬，窗外雪飘，絮絮自语说了这多，你可懂我了吗？若你知晓，无需说话，只报一声心灵的轻叹，那，便是我的花开春暖。你相不相信，人生有一种念想，不求奢华不求结果，不求你在我身边，只愿有一种陪伴暖在心灵，那，便是懂得。有人懂得是一种幸福，懂得别人是一种襟怀，互为懂得是一种境界。懂得，真好！