菱形讲义(经典)

第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM．例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.(1)求证：四边形ABCD是菱形．(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．例4.已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．FEDCBA跟踪练习：1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为()A.4B.2.4C.4.8D.52.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A.23B.33C.43D.3.3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5.(1)如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.(2)如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【作业】一.选择题：1..在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A.5cmB.15cmC.20cmD.25cm2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是____3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2B．23C．4D．435.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、16错误!未找到引用源。B、16C、8错误!未找到引用源。D、86.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空题7.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为错误!未找到引用源。cm2．8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠第7题第8题第9题ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm2．三、解答题12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF。13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点AB的一次函数解析式．14.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE＝12BE．15.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．ADFEBCEDCBAFEODBCA板块二、菱形的判定例1.已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证:□ABCD是菱形例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形例3.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证:四边形AECF是菱形课堂练习：1.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．2.已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.DCABODEFCAB3.如图，在梯形纸片ABCD中，//ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE.求证：四边形CDCE是菱形．C'DCBAE4.如图，在ABC中，ABAC，M是BC的中点．分别作MDAB于D，MEAC于E，DFAC于F，EGAB于G．DFEG、相交于点P．求证：四边形DMEP是菱形．【作业】1．有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。2．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为cm，边长为cm，高为cm。3．菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为。4．如图1所示，菱形ABCD中，AE⊥BC，BE=EC，AE=2，BD=。5．如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，∠C=。6．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．8倍7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．每条对角线平分一组对角8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）A．75°B．60°C．50°D．45°ABCDE图1ABDEFC图2ABCDEF图3PMFEDGCBA9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A．已知菱形的两条对角线B．已知菱形的一边和一个内角C．已知菱形的四条边D．已知菱形的周长和面积10．下列命题正确的是（）A．有两组邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形11．菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。12．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG⊥AB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。14.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．16.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．17．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．18.如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．19.如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为．试解决下列问题：（1）填空：点D坐标为_________；（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；20.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗