数字信号处理-第10章-2平稳信号的各态遍历性

10.4平稳信号的各态遍历性这种平均称为“集总平均（EnsembleAverage)”，需要无穷多样本。11{()}(,)limNxNiEXnxniN对样本求和Khintchine证明了：在具备一定的条件下，观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数的“时间平均（TimeAverage)”等于其集总平均,于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。此性质称为“各态遍历性（Ergodic)”。对时间求和(,)xni定义：如果的集总均值和其单一样本的时间均值依概率1相等，则称的均值具有各态遍历性。如果的集总自相关和其单一样本的时间自相关依概率1相等，则称的自相关函数具有各态遍历性。如果的均值和其自相关均具有各态遍理性，则称为各态遍历随机过程。()Xn()Xn()Xn()Xn()Xn()Xn时间均值集总均值例1随机相位正弦波单一样本很容易证明：所以是各态遍历的由于随机幅度正弦波不是平稳的，所以它更不是各态遍历的。例2信号的取值在（－1～1）之间均匀分布，但每一个样本的值不随时间变化。显然，该信号是平稳的，但不是各态遍历的。结论：平稳信号不一定是各态遍历的相关函数用于信号检测()()()()[()()]()()sxssurmEsnxnmEsnsnunrmrm注意此处求相关的方法和第1章的区别！例3()()()xnsnun观察信号信号噪声可由来判断的有无及性质()xrm()sncoherenceaverage)相干平均（将个样本在对应时刻相加，集总平均：例4记录信号确定信号噪声信号允许多次试验不随样本变化则：令的功率为，的功率为，()snP()un2u信噪比提高了倍相干平均：一种常用的弱信号检测方法思考：什么条件下，信噪比可提高到倍10.5信号处理中的最小平方估计一、对确定性信号例1实值二次型函数的最小值()2TTgcXXAXbX1N1NNN对称阵()220gXAXbX注意矩阵向量的求导10XAb最小二乘解信号的最小平方估计设有个信号：(),1,2,,ixniM现希望用这个信号估计信号。()yn问题的提法：例2令：寻找向量估计方法：采用线性最小平方估计：使N是信号的长度[(0),,(1)][(0),,(1)]TTyyNeeNye记：由：-eyXaHEeeHHHHHHEyyaXyyXaaXXa式中：令：最佳的a最小误差H1H()XXXX的伪逆X最佳解的伪逆表示对随机信号，“估计”是基本方法。有时要求估计信号本身，更多的是估计信号的参数，如：二、对随机信号例3参数最小均方估计估计方法：采用线性估计估计的均方误差：式中：令得：Wiener-Hopf方程注意：由MSE[]{()()}HHHExxˆˆ{()}{()}HEEx{()}{()}HHHHHExExx显然，若使为最小，应使上式的第二项为零。这是因为第一项不可能为零，即为零趋于最小由引导出参数估计中的正交原理，即：欲使估计误差的均方值为最小，应使已知的数据向量和误差正交。ˆˆMSE[]{()}{()}HEEx于是，下式第一项即是最小估计误差，即三、随机信号的线性最小均方滤波假定三者都是零均值的平稳信号，现希望从中估计出。问题的提法：记录信号噪声给定问题的解决方案：寻找一个滤波器，使通过该滤波器后，其输出和希望的信号最“接近”。()()()xnsnun()yn()dn()en()Hz如果：1.，此即滤波问题；2.表示一段时间。此为纯预测（pureprediction）问题；3.表示一段时间。此为预测（prediction）问题；如果称为一步预测问题22()[()()]EenEdnyn误差函数：000(0)2()()()()()ddxxkkmrhkrkhkhmrkm()()()ynxnhn22()2()()()EdnEdnynEyn0,1,,k02()2()()()dxxmrkhmrkmhk0()()()optxdxmhmrkmrkmin0(0)()()doptdxkrhkrkWiener-Hof方程(),0,1,,opthkk维纳滤波器xoptxdRhr010.6估计质量的评价如何评价对估计的质量ˆ偏差方差定义：为估计的偏差，即估计值的均值和真值的差。无偏估计如果：渐近无偏估计所以：由于：定义：均方误差包含偏差和方差都最小一致估计（consistent)渐近一致估计若一个估计，是否是无偏的（或是否是渐近无偏的），是否是一致的（或是渐近一致的），就成为了判断一个估计质量的标准。后续两章，特别是第11章，集中讨论自相关函数的估计和功率谱的估计问题，请紧紧抓住估计质量评判的两个标准。与本章内容有关的MATLAB文件1.cov.m本文件用来计算两个等长向量的协方差矩阵。调用格式是：(1)covxy=cov(x,y),(2)covxy=cov(x,y,1),(3)covx=cov(x),(4)diag(cov(x));2．xcov.m本文件按（10.2.7）式计算两个离散序列的协方差函数，或一个序列的自协方差函数。协方差函数和相关函数的差别就在于前者去出了均值，而后者没有去除。因此，xcov的用法和xcorr非常类似。3．corrcoef.m本文件用来计算两个等长向量的相关系数矩阵。相关系数的定义见（1.8.1）式。此处给出的是矩阵，所以相关系数矩阵是/,diag()TxyxyCdddC4.cohere.m本文件用来计算两个信号的频域相干系数，相干系数的定义见（10.2.20）及(10.2.21)式。Cohere的调用格式是：[cxy,F]=cohere(x,y,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag)5.csd.m本文件用来计算两个信号的互功率谱，互功率谱的定义见（10.2.13）式。调用格式是：[Pxy,F]=csd(x,y,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag)。输入参数和cohere.m的输入参数的含意完全一样。6．tfe.m本文件用来估计一个LSI系统的转移函数，但实际上估计的出是频率响应。调用格式是[H,F]=tfe(x,y,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag)式中x是系统的输入，y是系统的输出，其余参数和cohere.m的输入参数的功能完全一样。H是求出的系统的频率响应，F是频率横坐标。