《建筑力学》-李前程--第七章-轴向拉伸与压缩

1建筑力学主讲单位：力学教研室（十一）2第十一章梁和结构的位移第一节概述第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分第四节单位荷载法第三节叠加法第五节图乘法第六节线弹性体的互等定理第七节结构的刚度校核3第一节概述本章研究微小、弹性变形情况下,静定梁和静定结构的位移计算。计算位移的目的:2.为超静定构件和结构的内力分析提供预备知识。1.建立刚度条件,确保构件和结构的变形符合使用要求;举例分析：xwBA取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面铅垂对称轴为w轴，xw平面为纵向对称平面。FCC'4第一节概述xwBAFCC'1.度量梁变形后横截面位移的两个基本量（1）挠度（w）：横截面形心C在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。wC挠度（2）转角（）：横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角。转角C2.挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自x转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。C5第一节概述xwBAFCC'3.挠曲线:梁变形后的轴线称为挠曲线。wC挠度转角C4.挠度和转角的关系C挠曲线挠曲线方程为()wfx式中：x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w为该点的挠度。小变形情况下:dtan'()dwfxx即挠曲线上任意点的斜率为该点处横截面的转角。研究梁的弯曲变形时,只要求出挠曲线方程,任意横截面的挠度和转角便都已确定。6第一节概述思考：如何求结构的位移？求弯曲变形的方法不适用！求结构的位移采用单位荷载法！及图乘法！7第一节概述5.梁的位移分析的工程意义(1)齿轮传动•轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；•加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。变形带来的弊端：12128第一节概述5.梁的位移分析的工程意义(2)继电器中的簧片当变形足够大时，可以有效接通电路；当变形不够大时，不能有效接通电路；触点簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。电磁力9一、梁的挠曲线近似微分方程第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲时梁挠曲线上一点的曲率表达式：EIM1推广到横力弯曲时（剪力存在时）：EIxMx1数学中的曲率公式22322dd1()d1dwxxwx整理得:22322ddd1dwMxxEIwx10一、梁的挠曲线近似微分方程第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分22322ddd1dwMxxEIwx2ddwx与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为:22ddMxwxEI去掉绝对值符号则:22ddMxwxEI11第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分22ddMxwxEIMMMM22d0dwxM0Oxw讨论2ddwx与M(x)正、负关系：Oxw22d0dwxM0结论：2ddwx与M(x)总是相反关系！22ddMxwxEI梁的挠曲线近似微分方程为：12第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分22ddMxwxEI梁的挠曲线近似微分方程为：思考近似的原因？1.略去了剪力的影响;2.略去了项。2ddwx求解上述微分方程,即可得出挠曲线方程,从而求得挠度和转角。13第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分22ddMxwxEI二、挠曲线近似微分方程的积分若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量。上式积分一次得转角方程:d1ddwMxxCxEI再积分一次，得挠度方程:1ddwMxxxCxDEI——重积分法求得挠度方程式中:C、D是积分常数，由梁挠曲线上的已知变形条件确定。梁挠曲线的边界条件和连续条件14第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分1.挠曲线的边界条件ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度wA和wB都应等于零。wA=0wB=0在悬臂梁中，固定端处的挠度wＡ和转角A都应等于零。wA=0A=015第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分2.挠曲线的连续条件AB在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。×(错)AB×(错)ABFCwC左=wC右C左=C右挠曲线的连续条件16第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分补充例题1:边界条件:wA=0A=0连续条件:wB左=wB右B左=B右补充例题2:B处的连续条件？BwB左=wB右B左≠B右17qlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-2]一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。解:FABF2BAqlFF1.确定梁的约束力2.建立梁的弯矩方程21()22qlMxxqx3.建立梁的挠曲线近似微分方程222d()111d22wMxqlxqxxEIEI4.对微分方程一次积分，得转角方程:x32d111d64wqxqlxCxEI5.再对转角方程一次积分，得挠度方程:431112412wqxqlxCxDEI18qlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-2]一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。解:FABFx6.利用边界条件确定积分常数当x=0时，wA=0当x=l时，wB=03234624qxlxlEI433224qwxlxlxEI分别代入转角与挠度方程，得积分常数：3241,0qlCD7.给出转角方程和挠度方程：19qlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-2]一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示,梁的弯曲刚度为EI,求梁的最大挠度及B截面的转角。解:FABFx3234624qxlxlEI433224qwxlxlxEI7.给出转角方程和挠度方程：8.求最大挠度和截面B转角：EIqlwwl.max3845450在跨中x=l/2时，有最大挠度：x=l时，截面B转角：324BqlEIBwmaxx20FlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-3]图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。解:FABFx1xCwAB,baFFFFll1.确定梁的约束力2.分段建立梁的弯矩方程：AC段：ab111()(0)FbMxxxalCB段：2222()()()FbMxxFxaaxllx23.建立梁的挠曲线近似微分方程:21121d1dwFbxxEIlAC段：222222d1dwFbFxaxxEIlCB段：21FlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-3]图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。解:FABFx1xCwabx24.分别积分，得转角与挠度方程:211112FbxCEIlAC段：222222122FFbxaxCEIlCB段：31111116FbwxCxDEIl33222222166FFbwxaxCxDEIl22FlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-3]图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。解:FABFx1xCwabx25.利用边界条件和连续条件确定积分常数:(1)边界条件在x=0处，0Aw在x=l处，0Bw(2)D点的连续条件在x1=x2=a处，1221ww(3)代入方程，解得积分常数：021DD)(62221bllFbCC23FlAB第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分[例题11-3]图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。解:FABFx1xCwabx22221136FblbxlEI2221116FbxwlbxlEI6.给出转角方程和挠度方程：AC段：22222221362FxaFblbxEIl32222222166FxaFbxwlbxEIlCB段：24FlAB[例题11-3]图示简支梁,受集中荷载F作用，梁的弯曲刚度为EI,试求C截面的挠度和A截面的转角。解:FABFx1xCwabx27.求指定截面转角和挠度值：C截面挠度：2226CFabwlbalEI226AFblblEIA截面转角：x1=a，或x2=ax1=0,思考：最大挠度发生在哪里?结论：在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。答:C处。第二节梁的挠曲线近似微分方程及其积分25第三节叠加法叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和,这就是叠加原理。需要求出梁指定截面的位移时,采用叠加法是方便的。26第三节叠加法表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移27第三节叠加法表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移28第三节叠加法表11-1几种常用梁在简单荷载作用下的位移29第三节叠加法[例11–4]图所示简支梁,承受均布荷载q和集中力F作用,梁的弯曲刚度为EI。试用叠加法求跨中挠度及A截面的转角。解:‖+43115,38424CAqlqlwEIEI3222,4816CAFlFlwEIEI4312538448CCCqlFl32122416AAAqlFlEIEI30第三节叠加法[例11–5]图示悬臂梁,梁的弯曲刚度为EI，试求C截面的挠度。解:=+CFBC2Cw1CwBwB2Cw22CBlw332648BlqqlEIEI313CFlwEI4428128BlqqlwEIEI432241284827384CBCqlqll341273384CCCFlql31小结1.描述构件和结构上各横截面的位移是：2.对弯曲变形的构件,可建立挠曲线近似微分方程,通过积分运算求出：线位移(挠度)、角位移(转角)两个基本量。转角θ(x)和挠度w(x)。关键步骤：（1）正确地写出弯矩方程；（2）正确地运用边界条件和变形连续条件确定积分常数。3.变形体力学中重要的基本概念之一是:“变形位能在数值上等于外力在变形过程中所作的功”。——单位荷载法是在这一概念的基础上建立的！单位荷载法适用于求解各种变形形式(包括组合变形)构件的位移。32小结4.求解多种荷载共同作用下的位移时,采用：叠加法：先分别算出每一种荷载单独作用下的位移,然后代数相加。叠加法适用于小变形的线弹性体。5.图乘法：是求解线弹性结构位移的基本方法,其计算公式为33作业11-211-4（只写出边界条件和连续条件）11-711-811-12(a)11-1511-20