埃博拉病毒传播问题的数学模型汇编

摘要本文分别研究在单个种群、多个种群以及有防控措施、无防控措施条件下，埃博拉病毒在动物群之间的传播特性，建立模型，量化埃博拉病毒的传播规律，深刻认识该病毒的危害，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。问题一针对描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播特性并预测接下来的在猩猩中的疫情变化问题，我们认为不是单纯的预测问题，灰度预测、时间序列模型等预测模型并不能很好的适用于此。现有的SIR模型【1】是很成熟的描述一般病毒传播的数学模型，但是由于其中不包含我们需要的潜伏群，因此我们对SIR添加入潜伏群E，改进的到我们的单物种SEIR模型【2】。由SEIR模型建立微分方程组求解猩猩群中的疫情变化。得到如下结果：潜伏群体处于发病状态累计自愈累计因病死亡第80周48257515第120周12272545第200周00275551问题二针对描述埃博拉病毒在人群与猩猩群中相互传播特性以及预测人和猩猩中疫情变化的问题，本题中假设了病毒只能由猩猩传染到人。问题一中的SEIR模型虽然是对一种物种内部的传染模型，但我们认为传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,埃博拉病毒的传播应该有着相同的规律；另外,在多个物种之间,埃博拉病毒的传播也应有类似的规律。因此，我们就以问题一的SEIR模型为基础进行改进,引入猩猩群对人群的影响因子，建立跨物种传播的SEIR模型，建立微分方程组求解出如下结果：潜伏人群处于发病状态隔离治疗累计治愈累计因病死亡第80周105.417.5312.51164.42985.6第120周101.75.4914.31330.53448.5第200周100.90.42080.31397.03621.0问题三针对此问中采取隔离与治愈感染者的措施后，要求预测疫情在人类中的发展情况、并与问题二结果作比较的问题，我们利用问题二的结论排除猩猩对人的影响后，此时病毒是在单物种内传播，适用于我们建立的单物种SEIR模型。利用排除猩猩影响后得到的数据，建立微分方程解得：潜伏人群处于发病状态隔离治疗累计治愈累计因病死亡第４５周10836261994769第５０周9530212197848第５５周8224172412930问题四我们利用前述数学模型，通过对比有无采取措施时的疫情变化情况，分析得出各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等对控制疫情的作用。关键词：单物种、跨物种SEIR模型微分方程组残差分析量化分析-1-一、问题的重述与分析1.1问题的重述埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。埃博拉病毒只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律，深刻认识该病毒的危害，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。请你根据相关信息，研究回答以下问题：1、建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；3、假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据；4、请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫-2-药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。1.2问题的分析1.2.1问题一的分析问题一需要我们根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，这其实是一个数学上的预测问题。针对预测问题，我们可以采用常用的时间序列模型或者灰度预测模型，但是针对病毒的传播，其自身有更加贴近实际的SIR模型，但由于SIR模型通常不考虑潜伏群的影响以及变化，而此题要求我们对潜伏群进行研究。因此，我们改进SIR模型，加入潜伏群，建立更加适应于埃博拉病毒传播特点的SEIR模型，利用SEIR模型建立起微分方程组，利用微分方程解出的函数对题目要求的进行预测。1.2.2问题二的分析第二个问题需要我们建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，描述人和猩猩疫情的发展，预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况。这实际上是两个变量之间的关联度描述与预测问题。本题中简化了问题，假设了病毒只能由猩猩传染到人，这就变成了单向的影响，问题一中的SEIR模型是对于一种独立的物种内部的传染模型，现在病毒从一种物种单向传播到另一物种、并在该物种内互相传播。因此，传播模型是可以推广的,即在某一物种内部,流行性疾病的传播应该有着相同的规律；另外,在两个甚至是多个物种之间,流行性疾病的传播也应该有着类似的规律。因此，我们就以问题一中的SEIR模型为基础进行改进,初步建立两物种间病毒传播的SEIR模型。1.2.3问题三的分析在第三问中，第41周后，因为外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。此时，人群与猩猩群不再有互相影响，消除了猩猩对人群的影响，所以，问题又回归到了第一问的情况，病毒在单一群体中传播的SEIR模型。由于我们没有病毒在单一人群中传播的原始数据，这样我们无法利用SEIR模型进行预测。理论上，我们应该在第二问的基础上，计算出与猩猩接触而成为潜伏者和感染者的人数Bt，然后用已知总数减去Bt，得到病毒在人群中单一传播时的数据，以此为依据对问题进行求解。实际上，由于易感人群数高达10E6数量级，而猩猩感染群只有10数量级，差距非常大，因此猩猩感染群对于人群的传染作用在此问题中可以忽略，我们可以直接用题目中的数据对人的SEIR群变化进行预测。1.2.4问题四的分析问题四需要我们分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。那我们就需要利用没有控制措施时的疫情情况与控制时的疫情相比较，得出采取的措施对于控制-3-疫情的作用。二、问题假设2.1、假设附件中提供的采样数据准确无误且具有充分的代表性2.2、假设短期内猩猩与人类的出生率死亡率对种群数量影响不大2.3、假设死亡后的猩猩与人类不再具有感染能力2.4、假设易感者一旦和感染者进行有效接触就会被感染成为潜伏者2.5、假设单位时间内一个感染者能传染的数量与易感群数量成正比2.6、假设所有自愈或治愈者不再复发2.7、假设所有潜伏期病人都会在两周后发病三、符号说明使用符号符号说明S猩猩或人中易感群数量E猩猩或人中潜伏群数量I猩猩或人中感染群数量R猩猩或人中退出群数量1R猩猩或人退出群中死亡的数量2R猩猩或人退出群中自愈（治愈）的数量()t潜伏者日接触率,即当易感者和感染者有效接触时,成为潜伏者比率()t感染者日接触率,即当易感者和感染者有效接触时,成为感染者比率()t潜伏群的发病率()t传染群的退出率(包括死亡和治愈)r死亡群数量数列与自愈(或治愈)群数量数列的相关度λ(t)B物种与A物种接触群日增长率p(t)B物种接触群到潜伏群的比率q(t)B物种接触到感染群的发病率四、模型的建立与求解-4-4.1问题一4.1.1模型的建立图1猩猩中S、E、I、R关系图在本题中，我们将未被感染过的健康猩猩作为易感群（S），易感群与感染者有效接触后，并不会立刻成为感染者，而是全都是进入潜伏期，且所有潜伏期患者都是两周后开始发病，因此，每一周的潜伏群E（t）就等于之后两周感染群的和I(t+1)+I(t+2)。同时因为死亡与自愈的猩猩不会再对别的猩猩产生影响，因此我们把死亡与自愈的猩猩同时都计入退出群。由此我们建立以下微分方程组：111111110000()()()()()()()()(0),(0),(0),(0)dStIStISdtdEtIStEdtdItIStEtIdtdRtIdtSSEEIIRR(0)另外，题目中要求的是退出群中死亡与自愈分别是多少，我们的模型中的退出群是两个之和，似乎无法得出题目要求的值，但是我们通过分析能够发现退出群中自愈量与死亡量是存在关系的，我们可以通过选取死亡群组（R1）作为参考数列，建立灰色关联度模型求解死亡群组（R1）与自愈群组（R2）的关系：00110100101()|1,2,...,()|1,2,...,min|()()|max|()()|()|()()|max|()()|1()sttstnixxkknxxkknxtxtxtxtkxtxtxtxtrkn(2)4.1.2模型的求解-5-现在我们根据建立的模型利用已知数据进行求解，我们将题目中给出的数据进行整理，得出我们建模求解需要的S、E、I、R四个群的猩猩数量（见附录1），并且利用整理出的已知数据对微分方程组中的参数进行求解：1）潜伏者日接触率1(t)：1/()()*()EttItSt(3)2）感染者日接触率1(t):1/()*IttIS(4)3）退出率1()t：1()()()RttIt(5)4）潜伏群发病率1()t：1()t=每日新确认病例数每日疑似累计数(6)由我们整理出来的数据带入以上公式，估算得：11111.085E-4,0,0.3018,0.5121求出微分方程的参数后，我们根据整理出来的数据特点进行判断，选取第11周时的S、E、I、R值作为初值，即：00002752,30,52,166SEIR利用MATLAB编写程序（程序源代码见附录2），将参数以及初始值导入微分方程组（1）进行求解，预测出的S、E、I、R四个群的数量变化分别如下：-6-图2猩猩易感群（S）数量的实测值与预测值图3猩猩潜伏群（E）数量的实测值与预测值05010015020025021002200230024002500260027002800X:80Y:2216周数/周猩猩数/个X:120Y:2181X:200Y:2174050100150200250051015202530X:80Y:3.94周数/周猩猩数/个X:120Y:0.6937X:200Y:0.01944-7-图4猩猩感染群（I）数量的实测值与预测值图5猩猩退出群（R）数量的实测值与预测值以上我们分别预测出了处于S、E、I、R四个群中的猩猩数量，现在我们需要将退出群（R）分解成两部分即分别还需要求解出死亡猩猩（R1）和自愈猩猩（R2）的数量。根据附件一，我们作出死亡群（R1）与自愈群（R2）的图像如下：0501001502002500102030405060X:80Y:7.769周数/周猩猩数/个X:120Y:1.383X:200Y:0.03883050100150200250100200300400500600700800900X:80Y:771.8周数/周猩猩数/个X:120Y:816.7X:200Y:825.8-8-图6猩猩死亡群（R1）与自愈群（R2）数量的实测值将附件一中的死亡群与自愈群带入方程组（2）可以求得每周死亡数量与每周自愈数量的相关度：r=0.869说明死亡群组与自愈群组的相关度很高，即我们可以视为每周死亡数量与自愈