数学建模之长江水质监测问题

长江水质监测摘要本文解决的是长江水质的评价与监测问题，通过分析过去十年不同监测站收集到的长江水质数据，运用不同的理论建立不同的模型，对长江过去十年的水质情况作出评价，然后再预测未来十年长江水质的变化情况。针对问题一：考虑到问题一中需要对长江水质情况作出定量的评价，并分析各地区水质的污染状况，为此，建立模糊综合评价模型确定了其隶属度函数，建立评判因子的权重矩阵，求得最终结果为：水质最差的地方是江西南昌滁槎（15号），其次水质差的地方为四川乐山岷江大桥（8号）、湖南长沙新港（12号）以及四川泸州沱江二桥（10号），此四处水质污染严重；水质最好的地方是湖北丹江口胡家岭（11号）。针对问题二：根据长江的降解系数，可得到污染物随时间的变化量。由于污染源的污染物排放量等于本地区污染物的流量与上游流下的污染物流量之差。因此，建立污染物流量随时间变化的微分方程模型。最后求得：高锰酸钾指数和氨氮的污染源主要集中在宜昌至岳阳之间。针对问题三：根据已知的过去10年的主要统计数据，建立了灰色预测模型。在相对误差较小的情况下对未来10年的水质情况作出了预测，分析得出结论：未来10年可饮用水所占的比例越来越低，排污量有明显的上升趋势。针对问题四：在问题四中建立多元线性回归方程，利用最小二乘法求解系数，在满足问题四要求的前提下，求出未来10年的允许最大相对排污量，继而求得未来10年每年的相应排污量，后者与前者的差值与未来10年的长江水总流量的乘积，求得最终结果如下表：未来10年预处理的排污量年代2005200620072008200920102011201220132014预处理排污量(亿吨)71.2483.1194.98106.86118.73130.60142.48154.35166.22178.09针对问题五：分析总结前几个问题的结果，找出水质污染的根本原因。结合考察团的调查结果，给出合理的建议和意见。最后，对模型中运用的方法进行了优、缺点评价，在模型的推广中提出了可以建立类似模型解决生活中的一类问题。关键词：模糊评价微分方程灰色预测线性回归11问题重述1.1问题背景长江是我国第一、世界第三大河流，其水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”。长江水是许多人赖以生存和发展的资源，保护水资源就是保护我们自己，就长江近年来的水质情况，采取合理的保护和治理措施刻不容缓。1.2解决问题为了制定出合理的治理长江水质污染的方案，根据长江地区近两年多主要水质指标的检测数据，现讨论以下几个问题：(1)对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。(2)研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源的主要分布地区。(3)假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析。(4)根据预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？(5)发表对解决长江水质污染问题切实可行的建议和意见。2问题分析问题需要对长江水质作出评价和预测，根据附件中已知的数据，建立相应的评价预测模型，分析得出长江水质过去十年以及未来十年的污染状况。2.1问题一的分析问题提供的数据主要反映了三方面的内容即：水质划分等级标准、17个测站点在28个月份中主要污染物的浓度和水质等级。而观测点水质等级的确定是由主要污染物的浓度决定的，因此为了对长江及各观测点作出定量的综合评价我们需要将主要污染物的浓度归一到一个比较量中。这个比较量要能够快速而准确的反映出各测站点的水质污染状况，因此我们评价整个长江流域的水质状况采用模糊综合评价模型。2虽然PH值是影响水质等级的因素之一，但是给出的所有PH值都在6~9这个范围内，即PH值对于水质等级几乎没有影响，所以在以后的问题讨论中不再考虑PH值的影响。2.2问题二的分析因为污染物在时间和空间上是动态变化的，为简便起见，不考虑支流的因素，只从纵向的角度，结合本地与上游污水进行水质的污染分析。根据常识可知，污染物的污染源就是新增污染物较多的地方。因此，考虑到降解系数，求得污染物随时间的变化量，通过相邻两主要观测点之间每千米的相对排污量判定污染源，即本地新增污染物的量等于本地区现有的污染物减去上游通过降解后到达该处的污染物的总量，再比上两地之间的距离，得到相对排污量。建立污染物的量随时间变化的微分方程模型，最后通过新增污染物的相对量大小关系得出主要的污染源地区。2.3问题三的分析测第三问根据过去10年长江的总体水污染状况的监测数据，可以看出长江总体水流量变化不大，但年排污的总量在增加，这使得污染河段比例增加，污染的严重程度呈现快速增长的趋势，即每年污染情况主要与当年的排污量和总水流量等因素有关。为此，首先利用回归分析方法确定出可饮用水的比例与总排污量和总水流量的关系式，然后根据过去10年排污量，利用灰色预测方法对未来的年排污量做出预测，最后根据总排污量的增长趋势来推断出可饮用水比例的变化趋势，从而可以预测出未来10年长江水质的变化情况。2.4问题四的分析在问题四中建立多元线性回归方程，利用最小二乘法求解系数，在满足未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水的前提下，求出未来10年的允许最大相对排污量，继而求得未来10年每年的相应排污量，后者与前者的差值与未来10年的长江水总流量的乘积，即可求得未来10年要处理的排污量。2.5问题五的分析分析总结前几个问题的结果，找出水质污染的原因。结合考察团的调查结果，给出合理的建议和意见。33模型假设与符号说明3.1模型假设假设一：降解系数在一定时间段固定不变；假设二：长江干流的自然净化能了近似均匀；假设三：干流的相邻两观测站点之间的排污口主要集中在下游处；假设四：干流污染物的富集主要受上游影响，支流的影响忽略不计。3.2符号说明符号符号意义uiA氧气属于第i等级的隶属度uiB高锰酸盐属于第i等级的隶属度uiC氨氮属于第i等级的隶属度ia第i种指标的权重jR各观测点模糊关系矩阵ix第i种指标的实时均值W平均排污量w相对排污量u断面水流平均流速C某组分子在x处的浓度k降解常数tx1每年长江总水流量tx2每年总排污量ty1V类水所占的比例4ty2劣V类水所占比例4模型的建立与求解4.1问题一的解答4.1.1模型一的建立与求解（1）确立评判指标：根据《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值设置表，结合28个月的各观测点的测量结果，选取溶氧量（DO）、高锰酸盐指数(CODMn)和氨氮（NH3-N）为评价因子，设置评价因子集：321,,xxxu，求出17个观测点28个月的个评价因子的均值，得到17个点的评价因子集。（2）建立评价集序号项目标准值分类Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类1溶解氧(DO)≥7.5（或饱和率90%）653202高锰酸盐（CODMn)≤2461015∞3氨氮（NH3-N）≤0.150.51.01.52.0∞4PH值（无量纲）6---94个指标将水质分为6个等级。（3）建立隶属函数，进行单因素评价：5由于水质污染程度和水质分级标准都是模糊的，所以用隶属度来描述分级界限较为合理，先根据各指标的6级标准，做出6个级别的隶属函数，其中DO的评价指标以数值大为优，其余两个指标以数值小为优，函数如下：DO（A）以升半梯形分布建立隶属函数012022020232203032253353250533536553606555.7665.7655.70605.7665.765.71654321xxxxxAxxxxxorxxAxxxxxorxxAxxxxxorxxAxxxxxorxxAxxxxxAuuuuuuCOOMn(B)和NH3-N（C）以升半梯形分布建立隶属函数：xxBxxxxxBxxxxxorxxBxxxxxorxxBxxxxxorxxBxxxxxBuuuuuu1151151010151000151010151010661036150106610664464410064464422426204042242216543216xxCxxxxxCxxxxxorxxCxxxxxorxxCxxxxxorxxCxxxxxCuuuuuu12125.15.125.15.1025.15.125.15.1115.111205.1115.1115.05.015.05.05.1015.05.015.05.015.015.05.015.0115.005.005.015.015.05.015.015.01654321有了各指标的隶属函数，就可以进行单因素评价，将各观测点的3个指标带入相应的隶属函数，计算出指标的隶属度，得到各观测点模糊关系矩阵jR（j=1，2，3...，17），具体数据见附录一。（4）建立评价因素的权重集：由于DO,COOMn和NH3-N等污染指标对水质的影响不同，因此对各指标应赋予不同的权重，根据污染物对水质的污染大、权重的的原则来决定权重的大小。定义：对于DO越大越优型：iiimxa，对于COOMn和NH3-N越小越优型：iiixna，其中，ia为第i种指标的权重，ix是第i种指标的实时均值，iinm,分别为多级浓度标准的最大值和最小值。再将权重归一化处理，31iiiiaaQ，评价因素权重的集合为A=[0.145,0.226,0.629]。（5）模糊综合评价：评价因素的权重集A乘以单因子矩阵jR得到模糊综合评价结果，7jjARB。将6个等级看作一种相对位置使其连续化，设各等级分别用1，2，3，4，5，6表示，并称为各等级的秩，然后用B中对应的量将各级的秩加权求积，得到被评等级的相对位置，即：6161*kkkkbkbB式中kb为隶属于第k级的隶属度。具体计算结果见下表：表1：各观测站水质等级序号123456789水质级1.29911.41161.40381.45691.24041.50001.16482.50001.4450序号1011121314151617水质级2.12541.00002.38881.91561.50004.15721.43241.41654.1.2问题一的结果分析由表1可知，各观测站中水质等级最大的为江西南昌滁槎（15号），可知此处水质情况最差，其次水质差的地方为四川乐山岷江大桥（8号）、湖南长沙新港（12号）以及四川泸州沱江二桥（10号），此四处水质污染严重；水质最好的地方是湖北丹江口胡家岭（11号）。4.2问题二的解答因为污染物在时间和空间上是动态变化的，为简便起见，不考虑支流的因素，只从纵向的角度，结合本地与上游污水进行水质的污染分析。建立污染物流量随时间变化的微分方程