3.2.2直线的两点式方程(2010.12.25)

3.2.2直线的两点式方程y=kx+by-y0=k(x-x0)复习巩固1).直线的点斜式方程：2).直线的斜截式方程：k为斜率，P0(x0,y0)为经过直线的点k为斜率，b为截距解：设直线方程为：y=kx+b.问题1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．一般做法：bkbk324由已知得：12kb解方程组得：所以，直线方程为:y=x+2问题情境：P1(1,3)P2(2,4)123413xy简单的做法：化简得：x-y+2=0是否有其他做法？？为什么可以这样做，这样做的根据是什么？P1(1,3)P2(2,4)P(x,y)问题探究：kPP1=kP1P2123413xy即：得:y=x+2设P(x,y)为直线上不同于P1，P2的动点，与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：直线两点式方程的推导111P（x,y）P（x,y）222P（x,y）数学建构：问题2：已知两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，求通过这两点的直线方程．解：设点P(x,y)是直线上不同于P1，P2的点．121121xxxxyyyy可得直线的两点式方程：121121yyyyxxxx∴∵kPP1=kP1P2记忆特点：数学推广左边全为y，右边全为x两边的分母全为常数分子，分母中的减数相同111P（x,y）P（x,y）222P（x,y）不是!121121xxxxyyyy是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程呢？两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．注意：当x1＝x2或y1=y2时，直线P1P2没有两点式方程.(因为x1＝x2或y1=y2时，两点式的分母为零，没有意义)那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？两点式方程的适应范围若点P1（x1,y1），P2（x2,y2）中有x1＝x2,或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么？当x1＝x2时方程为：x＝x１当y1=y2时方程为：y=y１当堂练习1、求经过下列两点的直线的方程（1）P1（2、1），P2（0，-3）（2）A（0，5），B（5，0）例2：如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l的方程．解：将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,得：0,00yxaba1.xyab即所以直线l的方程为：1.xyab直线的截距式方程xyOB(0,b)A(a,0)②截距可是正数,负数和零注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？1.xyab截距式直线方程:直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距⑴过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?解:⑴两条例:那还有一条呢？y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把(1,2)代入得：1xyaa设直线的方程为:解：三条⑵过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x1xyabab设例:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：203230yx整理得：5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程。数学应用3032,22BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：31,22M即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程。05130522yx过A(-5,0),的直线方程31,22M中点坐标公式中点坐标公式：则121222xxxyyy若P1，P2坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)且中点M的坐标为(x,y).返回3)中点坐标：121222xxxyyy课堂小结：121121yyyyxxxx1)直线的两点式方程2)两点式直线方程的适应范围1xyab截距式方程