第三章资金的时间价值

12一、资金的时间价值二、利息与利率三、计息方法—单利和复利四、名义利率和实际利率3一、资金的时间价值感性认识——从直观上讲两方案那个方案较好？.资金的时间价值是一种具有广泛使用意义的理论和概念。发生在不同时间点上的等额资金在价值上的差别即资金的时间价值。0240620430811200投资年收入年序A方案0840420630211200投资年收入年序B方案4虽然两方案投资同为12万元，各年收益之和都是20万元。但凭直觉和常识，我们认为A方案优于B方案。A方案在第一年收入8万元，B方案在第四年收入8万元，这同是8万元的收入其价值是不同的，A方案可立即进行新的投资并得到相应的收益，而B方案则晚了4年，这就是A方案优于B方案的原因。0240620430811200投资年收入年序A方案0840420630211200投资年收入年序B方案5不同时点上数量相等的资金，在价值上并不相等，这种差别即资金的时间价值。通过这个例子，说明方案经济效益的好坏，不仅与净收益的大小有关，而且与每笔净收益发生的时间有关。至此我们说：资金具有时间价值时间就是金钱0240620430811200投资年收入年序A方案0840420630211200投资年收入年序B方案6资金有时间价值，即使金额相同，因其发生在不同时间，其价值也就不相同反之，不同时点绝对值不等的资金在时间价值的作用下却可能具有相等的价值这些不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，又叫等效值7二、利息与利率1.利息是指占用资金使用权所付的代价或放弃资金使用权所获得的报酬—衡量资金时间价值的绝对尺度I=F-P2.利率是利息与本金之比—衡量资金时间价值的相对尺度i=I/P资金的时间价值一般表现为利息或利率F:本利和P：本金I；利息i:利率8三、有关利息计算的几个术语1、计息期:计算利息的整个时期2、计息周期:计算一次利息的时间单位,如年、半年、季、月、周、日等3、计息次数:根据计息周期和计息期所求得的计息次数,用n表示例:以月为计息周期,则一年计息次数n=12,四年计息次数n=489四、利息的计算方法利息由原始本金一次计算而得——利息不计利息（每个计息周期内所得的利息相同）F:本利和P：本金i:利率n:计息次数F=P(1+in)（一）单利注意：上式中n和i反映的时期要一致。i为年利率，n应为计息的年数，i为月利率，n应为计息的月数10.单利法只对本金计算利息，不计利息的利息，即利不生利，每期的利息额是固定不变的。资金随时间的推移呈线性变化。p〔1+(n-1)i〕+pi=p(1+ni)piP〔1+(n-1)i〕N…………P(1+2i)+Pi=P(1+3i）PiP(1+2i)3P(1+i)+Pi=p(1+2i)PiP(1+i)2P+Pi=P(1+i)Pip1期末本利和当期利息期初本金计息周期（n）N期末的本利和F=P（1+n×i）I=P×i×n注意：i与n要吻合，即i必须是计息周期的利率。单利法的计息过程（见下表）11单利法计算5000元资金5年后的本利和（利率为10%）计息周期（n）期初本金当期利息期末本利和1P5000Pi500P+Pi=P(1+i)55002P(1+i)5500Pi500P(1+i)+Pi=P(1+2i)60003P(1+2i)6000Pi500P(1+2i)+Pi=P(1+3i）65004P(1+3i)6500Pi500P(1+3i)+Pi=P(1+4i）70005P(1+4i)7000Pi500P(1+4i)+Pi=P(1+5i）750012三、计息方法—单利和复利（二）复利利息由本金与累计利息之和计算而得——利息再计利息（变化）F:本利和P：本金i:利率n:计息次数F=P(1+i)n著名的物理学家爱因斯坦称：“复利是世界第八大奇迹，其威力甚至超过原子弹。”13一个古老的故事一个爱下象棋的国王棋艺高超，在他的国度从未有过敌手。为了找到对手，他下了一道诏书，诏书中说无论是谁，只要打败他，国王就会答应他任何一个要求。一天，一个年轻人来到了皇宫，要求与国王下棋。经过紧张激战，年轻人终于赢了国王，国王问这个年轻人要什么样的奖赏，年轻人说他只要一点点小小的奖赏，就是在他们下的棋盘上，在棋盘的第一个格子中放上一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的一倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的一倍，一直将棋盘每一个格子摆满。(即：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、32768、65536、131072、262144、524288、1048576、…………国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了。但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他，也不够百分之一。因为即使一粒麦子只有一克重，也需要数十万亿吨的麦子才够。尽管从表面上看，他的起点十分低，从一粒麦子开始，但是经过很多次的乘方，就迅速变成庞大的数字。14结果投入资金10，000？期限收益率5%（复利）5年10年15年20年25年30年财富增值的秘诀一：长期复利滚存12760162902079026530338604322015结果投入资金10，000？回报率理财20年3%4%5%6%8%10%180602191026530320704661067270财富增值的秘诀二：稳定的回报率16.复利法不仅对本金计算利息，也计算利息的利息，即利生利，每期的利息额是不断改变的。资金随时间的推移呈指数曲线变化。复利法的计息过程（见下表）P（1+i）n-1+P（1+i）n-1i=P(1+i)nP（1+i）n-1iP（1+i）n-1N…………P(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i）3P(1+i)2iP(1+i)23P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2P(1+i)iP(1+i)12P+Pi=P(1+i)PiP1期末本利和当期利息期初本金计息周期(n）N期末的本利和F=P（1+i）nI=F-P=P[(1+i)n-1]注意：i与n要吻合，即i必须是计息周期的利率。17复利法计算5000元资金5年后的本利和（利率为10%）计息周期(n）期初本金当期利息期末本利和1P5000Pi500P+pi=p(1+i)55002P(1+i)15500P(1+i)i550P(1+i)+p(1+i)i=p(1+i)260503P(1+i)26050P(1+i)2i605P(1+i)+P(1+i)2i=p(1+i）366554p(1+i）36655p(1+i）3i665.5P(1+i)+P(1+i)3i=p(1+i）47320.55p(1+i）47320.5p(1+i）4i732.05P(1+i)+P(1+i)4i=p(1+i）58052.558052.55-7500=552.5518三、计息方法—单利和复利F=P(1+i)nF=P(1+in)（三）单利和复利的比较在技术经济学中，凡利息计算除特别指出用单利计算外，则都是用复利计算。19Fn复利单利资金随时间的变化规律曲线20由此我们可以看出，同一笔借款，在利率和计息周期均相同的情况下，用复利计算出的利息金额比用单利计算出的利息金额多本金越大，利率越高，计息周期越多时，两者差距就越大21.有一笔50000元的借款，借期为3年，年利率为8%，请分别按单利法和复利法计算到期的本利和。解：1.单利法F=P(1+in)=50000(1+3*8%)=62000（元）2.复利法F=P(1+i)n=50000(1+8%)3=62985.60(元)单利法与复利法比较可看出：复利法比单利法多出的利息为62985.60-62000=985.60（元）985.60（元）就是各年利息的利息。22四、名义利率和实际利率复利计算中，利率周期通常以年为单位，它可以与计息周期相同，也可以不同，当计息周期小于一年时，就出现名义利率和实际利率的概念（一）名义利率和实际利率的概念名义利率：指按年计息的利率，即计息周期为一年的利率。=计息周期实际利率×一年内计息次数若计息周期月利率为1%，则年名义利率为12%在技术经济评价中，提到名义利率，一般特指年名义利率23实际利率:计算利息时实际采用的有效利率，计息周期实际发生的利率例：月利率1%，每月计息一次，则1%是月实际利率，年实际利率为[p(1+i)n-p]/p=（1+1%）12-1=12.68%1%×12=12%，这12%即为年名义利率24名义利率和实际利率产生的前提是复利计息方法。在单利计息方法中无所谓名义利率和实际利率。实际计算利息时应该用实际利率，而不用名义利率。251.名义年利率转化为计息期利率名义年利率为r，每年计息m次，则每一个计息期的利率——即计息期利率为r/m。若本金为P，一年后的本利和为F，则：F=P(1+i)ni=r/m,n年→m次/年F=P(1+r/m)m（二）年名义利率和年实际利率的换算关系262.名义年利率转化为实际年利率F=P(1+i)ni=r/mn年→m次/年F=P(1+r/m)mF=P+II=F-Pi=I/P所以，实际年利率：i=I/P=(F-P)/P=[P(1+r/m)m–P]/P=(1+r/m)m-1i=(1+r/m)m-127复利：间断复利和连续复利（一）间断计息：在按复利计息时，计息周期为一定的时间区间，如年、季、月、周、日。（二）连续计息：在按复利计息时，计息周期无限缩短，即以瞬时为计息周期。当计息周期无限缩短时，有m∞,则i与r的关系是：1e1m/r1lim1m/r1limirrr/mmmm281.当m=1时，r=i,即名义利率等于实际利率。3.当m∞时，i=er-1。i=(1+r/m)m-12.当m＞1时，i＞r,即实际利率大于名义利率。连续复利计息：按瞬时计算复利29从理论上讲，复利计息在反映资金增值上比单利计息合理。而连续计息在反映资金不断增值的客观情况上比间断计息更加切合实际。但是，在实际计算中为了方便，均采用间断计息，而且在一般情况下，计息周期为年。30计息周期一年内计息次数（m）12%的年名义利率（r）%计息周期利率实际年利率年11212半年26（12%/2）12.36季4312.5509月12112.6825周520.230812.7341日3650.032912.7475连续∞12.7497名义利率、实际利率、连续利率比较表31例:名义利率5.04%，每年计息12次求：月利率和实际年利率解：1.计息期利率：r/m=5.04%/12=4.2‰（月利率）答：月利率为4.2‰；实际年利率为5.158%。2.实际利率：i＝（1十r／m）m─1＝（1十5.04％／12）12─1＝5.158％32例:某企业向外商订购设备,有两家银行可以提供贷款,甲银行年利率为8%,按月计息;乙银行年利率为9%,按半年计息,均为复利计算。试比较该企业选择从哪家银行贷款。解:应选择具有较低实际利率的银行贷款i甲=(1+8%/12)12-1=8.3%i乙=(1+9%/2)2-1=9.2%由于i甲i乙故应该选择向甲银行贷款331000元的存款，每年计息一次，年利率12%，一年后的本利和是多少？1000元的存款，每月计息一次，年利率12%，一年后的本利和是多少？实际年利率为多少？i=(1+r/m)m-1F=P(1+i)nA：F=1000（1+0.12）1=1120（元）B：解法一（名义年利率转化为实际年利率）：i=(1+0.12/12)12-1=1.1268-1=12.68%F=1000（1+12.68%）1=1126.8（元）AB341000元的存款，每年计息一次，年利率12%，一年后的本利和是多少？1000元的存款，每月计息一次，年利率12%，一年后的本利和是多少？实际年利率为多少？ABB：解法二（名义年利率转化为计息期利率）：F=1000(1+0.12/12）12=1126.8(元)F=P(1+r/m)mI计息期=r/m=0.12/12I计息期=r/m35公式应用区别1.F=P(1+r/m)mi=r/m利率由名义年利