第二章货币时间价值-2

货币的时间价值年金年金概念一定时期内固定间隔，每次等额收付的系列款项。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。例如：零存整取，每月存入银行等额资金，年底一次性支取；固定股利政策，每年向投资者支付等额（10万元）现金股利；某项目从经营期第2年起，每年获利现金净流量均为80万元。【提示】年金收付的间隔时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。年金的种类：年金按收付款时间不同，分为四种类型：–普通年金–即付年金–递延年金–永续年金•普通年金从第一期开始每期期末收款或付款的年金。AAAA123401.普通年金的终值被称为“年金终值系数”，或“一元的年金终值”，可查附表三。（F/A，i，n）例：普通年金终值计算小王是位热心公益事业的人，自1995年12月底开始，每年都向一位失学儿童捐款1000元，帮助这位儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?F=1000+1000(1+2%)+1000(1+2%)2+……+1000(1+2%)8=1000×(F/A，2%，9)=1000×9.7546=9754.6（元）例：A矿业公司欲公开拍卖一处矿产开采权，因此向各国煤炭企业招标开矿。已知甲、乙公司的投标书最有竞争力。甲公司投标书：如果取得开采权，从获得开采权的第l年开始，每年末向A公司交纳l0亿美元的开采费，直到l0年后开采结束。乙公司的投标书：取得开采权时，立刻付给A公司40亿美元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。若A公司要求年投资回报率达到15%，应接受哪个公司的投标?解：甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款l0亿美元的l0年年金，其终值计算如下：F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（亿）年金终值•乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：第1笔收款(40亿)的终值F1=40×(F/P，15%，10)=40×(1+15%)10=40×4.0456=161.824(亿)第2笔收款(60亿美元）的终值F2=60×(F/P，15%，2)=60×(1+15%)2=60×1.3225=79.35(亿)终值合计：F=l61.824+79.35=241.174(亿)甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。2.普通年金的现值为“年金现值系数”或“一元的年金现值”，查附表四。用复利现值推导出来（F/A，i，n）例：某投资项目于2000年初动工，当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期l0年收益的现值。解：P＝40000×（P/A，6%，l0）＝40000×7.3601＝294404（元）例：刘女士最近准备买房，看了几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，该房屋目前市场价格为4000元/平方米（需要一次性付款），如果分期付款，A开发商要求首期支付20万元，然后分6年每年年末支付6万元。如果贷款利率为6%。分期付款对刘女士是否合算？解：分期付款刘女士付给A开发商的资金现值为：P=20+6×（P/A，6%，6）=20+6×4.9173=20+29.5038=49.5038（万元）如果直接按每平方米4000元购买，只需要付出40万元，可见分期付款不合算。•即付年金也称为先付年金。从第一期开始每期期初收款、付款的年金，A·(1+i)1A·(1+i)2A·(1+i)3A·(1+i)4推导到n次方0123AAA比较普通年金1、即付年金的终值是把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。【方法一】将即付年金看成普通年金，套用普通年金终值的计算公式，计算终值，得出来的是在最后一个A位置上的数值，即第n-1期期末的数值，再将其向后调整一期，得出要求的第n期期末的终值，即：F＝A(F/A，i，n)·(1＋i)【方法一】后(1＋i)【方法二】分两步进行第一步：先把即付年金转换成普通年金。转换的方法是：假设最后一期期末有一个等额款项的收付，这样，就转换为普通年金的终值问题，按照普通年金终值公式计算终值。不过要注意这样计算的终值，其期数为n＋1。第二步：进行调整。即把多算的在终值点位置上的这个等额收付的A减掉，就得到即付年金的终值计算公式。即付年金的终值系数和普通年金相比，期数加1，而系数减1。即：F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]nA实际不存在F＝A(F/A，i，n＋1)－A＝A[(F/A，i，n＋1)－1]01n-2n-1例：即付年金终值为了筹集一笔资金，王先生连续6年，于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?解：F=A[(F/A，i，n+1)-1]=3000×[(F/A，5%，7)-1]=3000×(8.1420-1)=21426(元)例：孙女士在邻近城市看到某品牌餐厅生意很好。她也想在自己所在的城市开一个连锁餐厅，于是找到业内人士进行咨询。餐厅总部工作人员告诉她，如果要加入餐厅的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该品牌的经营模式和经营范围营业。加盟费也可分期支付，条件是从开业当年起，每年年初支付20万元，付3年。三年中如果有一年没有按期付款，总部将停止专营权的授予。孙女士资金不足，需要到银行贷款，按其所在城市有关扶持创业投资的计划，可获得年利率为5%的贷款。请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付?解：如果分次支付，则其3年终值为：F=20×（F/A，5%，3）×（1+5%）=20×3.1525×1.05=66.2025（万元）或者F=20×[（F/A，5%，4）-1]=20×（4.3101-1）=66.202（万元）如果一次支付，则其3年的终值为：50×（F/P，5%，3）=50×1.1576=57.88（万元）相比之下，一次支付效果更好。2、即付年金的现值是各期的年金分别求现值，然后相加。【方法一】分两步进行：–第一步，先把即付年金看成普通年金，套用普通年金现值的计算公式，计算现值。注意这样得出来的是第一个A前一期位置上的数值。–第二步，进行调整。即把第一步计算出来的现值乘以（1＋i）向后调整一期，即得出即付年金的现值。P＝A（P/A，i，n）·（1＋i）P＝A（P/A，i，n）·（1＋i）01n-2n-1n(1＋i)【方法二】分两步进行：第一步，先把即付年金转换成普通年金进行计算。转换方法是，假设第1期期初没有等额的收付，这样就转换为普通年金了，可以按照普通年金现值公式计算现值。注意，这样计算出来的现值为n－1期的普通年金现值。第二步，进行调整。即把原来未算的第1期期初的A加上，就得到了即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。P＝A·[（P/A，i，n－1）＋1]01n-1nAAA实际存在P＝A(P/A，i，n-1)+A＝A[(P/A，i，n-1)+1]例：即付年金现值张先生采用分期付款方式购入商铺，每年年初付款150000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?解：P＝A·[（P/A，i，n-1）＋1]＝150000×[（P/A，6%，9）＋1]＝150000×（6.8017＋1）＝1170255（元）按现值计算孙女士计划开餐厅的例子：如果一次支付，其现值为：P=50（万元）如果分次支付，3年中每年年初支付20万元的现值为：P=20×（P/A，5%，3）×（1+5%）或者：P=20×[（P/A，5%，4）-1]例：李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：（1）每个月来公司指导工作一天；（2）每年聘金l0万元；（3）提供公司所在地A市住房一套，目前市值80万元；（4）在公司至少工作5年。李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但李博士不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付16万元房贴。收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元。假设每年存款利率为2%，李博士应该如何选择?解：要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到16万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此是一个即付年金。其现值计算如下：P=16×[（P/A，2%，4）+1]=16×[3.8077+1]=16×4.8077=76.9232（万元）＞76从这一点来说，李博士应该接受房贴。如果李博士本身是一个企业业主，其资金的投资回报率为15%，则他应如何选择呢？在投资回报率为15%的条件下，每年16万的住房补贴现值为：P=16×[（P/A，15%，4）+1]=16×[2.855+1]=16×3.855=61.68（万元）＜76在这种情况下，应接受住房。【总结】关于即付年金的现值与终值计算，都可以以普通年金的计算为基础进行，也就是在普通年金现值或终值的基础上，再乘以（1+i）。F＝A·(F/A，i，n)·(1＋i)P＝A·(P/A，i，n)·(1＋i）•递延年金是第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。1.递延年金终值计算计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。F＝A（F/A，i，n）2.递延年金现值的计算【方法一】把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，再向前按照复利现值公式折现m期即可。P＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）【方法二】把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。P0＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]例：某公司拟购置一处房产，有三种付款方案（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？解：方案1P0＝20×（P/A，10%，10）×（1+10%）=20×6.1446×1.1=135.18（万元）或P0=20×〔（P/A，10%，9）+1〕=20×（5.7590+1）=135.18（万元）方案（2）P=25×[（P/A，10%，10）]（P/F，10%，4）=25×6.1446×0.683＝104.92（万元）或：P=25×[（P/A，10%，14）-（P/A，10%，4）]=25×（7.3667-3.1669）＝104.995（万元）方案（3）P＝25×[（P/A，10%，9）+1]×（P/F，10%，4）＝＝115.41（万元）或=24×{[（P/A，10%，13）+1]-[（P/A，10%，3）+1]}＝115.41（万元）应该选择第二方案（五）永续年金永续年金：无限期的普通年金。特点：只有现值，没有终值实务：各类奖励基金永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出iiAPn)1(1在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P=A/i例：某项永久性奖学金，每年计划颁发50000元奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应为多少元？解：本金＝50000/8%＝625000（元）六、利率的计算（一）复利计息方式下利率的计算第一步：计算出有关的时间价值系数。[复利终值（现值）系数，或者年金终值（现值）系数