高中数学课程标准解读

普通高中数学课程标准解读郭民东北师范大学数学与统计学院选修系列1和系列2一、常用逻辑用语、圆锥曲线与立体几何常用逻辑用语常用逻辑用语在选修1-1与选修2-1中的内容与要求相同。（一）教育价值众所周知，在数学中逻辑用语的作用是至关重要的。数学内容的表达，命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）之间的关系，以及命题成立的条件（如，充分条件、必要条件、充要条件），都离不开逻辑用语。在日常生活中，为了使表达更加准确、清楚、简捷，我们常常要用一些逻辑用语。因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据。（二）内容设计要求与依据▲在本模块中，学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。《大纲》里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑，新标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用。▲注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。（三）标准中目标描述的说明▲在本模块中，考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的积累后，对这些问题的理解就不成为问题了。因此，本模块中重点是要求学生关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件，并在今后的使用过程中加深理解。▲对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容。因此，内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行展开，避免抽象地讨论。▲对于量词，有全称量词与存在量词两类，内容设计上要求通过具体的案例来进行展开，不要追求形式化的定义。形式化的定义，对于学生来说，很难理解，并且很难找到具体应用的背景。二圆锥曲线与方程（一）教育价值▲圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型，有很多非常好的几何性质。这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用，所以学习这部分内容对于提高学生自身的素质是非常重要的。▲高中阶段对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在本模块中，在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。圆锥曲线本身有一些很深奥的性质（如光学性质，行星运行轨道等），其中有一些是圆锥曲线最基本的性质，由于学时限制，可以只介绍结论和应用。（二）内容设计要求与依据▲与《大纲》相比，《标准》更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。在《大纲》中，所有学生都要求学习从椭圆、抛物线到双曲线的定义到几何性质，层次性体现不够，要求相对单一。而在《标准》中，这方面就相对有层次，对于希望在人文、社会科学等方面发展的学生来说，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。（三）标准中目标描述的说明▲在引入圆锥曲线时，强调让学生了解圆锥曲线的背景与应用，目的是让学生更加深刻地理解学习圆锥曲线的必要性。在内容设计上要求通过丰富的实例来展开内容，如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面。▲《标准》要求学生能够经历椭圆曲线的形成过程，目的是让学生对圆锥曲线的定义和几何背景有一个比较深入地了解。《标准》设计了一个平面截圆锥得到椭例1图▲圆的过程，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线例1如图，用一个平面去截圆锥，这个平面与圆锥的交线是一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切。那么，截面与两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。例1图▲对抛物线、双曲线的有关定义与性质只作一般的了解，以拓展学生的知识，使学生对圆锥曲线有一个比较全面的了解。选修2-1要求学生能够用坐标法解决一些简单的几何问题和实际问题。在这一点上，比希望在人文、社会科学等方面发展的学生要在数学上的要求加深了一步。▲知识的应用是《标准》非常强调与重视的，这相当于知识的去脉。《标准》中虽然规定是“了解”，但这是一个非常重要的教学环节。在内容设计上，可以向学生展现一些圆锥曲线在日常生活中的实际应用，如，投掷铅球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。在一定的意义上，圆锥曲线是较好体现数形结合思想的一个素材。在学习了圆锥曲线之后，要通过圆锥曲线的背景让学生了解曲线与方程之间的对应关系，进一步体会数形结合的思想。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。三空间中的向量与立体几何这一内容设置在选修2中。（一）教育价值▲空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。▲向量是一个重要的代数研究对象，是一种运算。它的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁——坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景。向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。（二）内容设计要求与依据▲《标准》对几何的设计主要分为三大块内容：必修部分的几何（立体几何初步、平面解析几何的初步、平面上的向量）、选修系列1与选修系列2中的几何（圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何）、选修系列3与选修系列4中的几何（球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类、几何证明选讲、坐标系与参数方程等）。▲与《大纲》相比，《标准》中立体几何的定位主要做了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。▲英国著名数学家M.阿蒂亚说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。这就明确指出，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。▲对于几何学的处理，《大纲》中的几何内容是一套演绎的体系，现在《标准》中的几何内容是由一个视角变成两个视角，即从整体到局部与从局部到整体来认识。《大纲》要求是从初中开始讲立体几何，《标准》要求是从小学开始渗透对空间图形的认识。《标准》中有关几何的内容要求提供更多的过程性内容，让学生进行感受。▲解析几何是以坐标系为核心的几何学。主要有两个方面的作用：其一，以代数的方法来解决几何问题，也就是几何问题的代数化，通过代数方法来解决；其二，给代数问题以一种几何的看法，即代数关系的几何意义。（三）标准中目标描述的说明▲空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并如何解决这些问题。同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。教学过程中应注意维数增加所带来的影响。有条件的地区，可以引导学有余力的学生将空间向量的有关性质向多维进行推广，并试着解决一些简单的几何问题。▲掌握空间向量的基本概念及其性质是这部分内容的基础知识，是后续学习的前提。在向量运算的教学过程中，注意引导学生思考向量运算与通常的实数运算的联系与区别。▲利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。统计、概率及计数一统计案例（一）教育价值▲在本模块，学生将在必修课程已学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。▲标准中提供的一些案例所涉及到的统计模型都是学生将来在走向社会时所要面临的、常见的统计模型，如质量控制、回归、独立性、聚类分析、假设检验等。在一定的程度上，很好地理解和应用这些统计模型会对将来学生的生活和工作质量起到一定的促进作用。另外，通过对这些统计模型的学习，学生将学习到一些经典的统计方法与统计思想，体验解决特殊问题的统计过程及统计方法，进而感受到统计思想在解决实际问题过程中的作用。（二）内容设计要求与依据▲在这部分，我们试图通过案例介绍一些统计方法，但更看重的是统计思想。“统计学不止是一种方法或技术，还含有世界观的成分——它是看待世界上万事万物的一种方法。我们常讲某事从统计观点看如何如何，指的就是这个意思。”由于高中课程的特点，我们更加强调一些有用的思想方法的直观合理性（实际上也是这种方法的原始产生过程），而不是从数学上给出严格论证。（三）标准中目标描述的说明▲我们通过典型案例讲述实际推断原理和假设检验的基本思想[参见案例1]。在这里没有给出检验的水平和否定域等概念。当然，今后的教材并非绝对不许出现这些名词。但这个案例告诉我们的是，不应把大学教材精简下放，不是讲假设检验理论，而是着重其思想。例1某地区羊患某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验，结果这5只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未患病。但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机抽取5只羊都不患病的可能性大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。现假设药无效，5只羊都不生病的概率是这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的。这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我们发现，一个概率很小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的“假设”。应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92%的把握认为药是有效的。50.078（1－０.4）在统计案例的教学中，应培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如估计结果的随机性，统计推断可能犯错误等)，体会统计方法应用的广泛性，理解其方法中蕴涵的思想。避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的地方还可以运用一些常见的统计软件解决实际问题。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。二概率这一内容设置在选修2中。（一）教育价值▲学生将在必修课程已学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量。分布列及其均值、方差等内容，初步