高二数学-导数

§3.1变化率与导数、导数的计算导数及其应用要点梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为.1212)()(xxxfxfxy2.函数y=f（x）在x=x0处的导数（1）定义称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，即f′(x0)==.（2）几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的.相应地，切线方程为.xxfxxfx)()(00lim0xyxlim0xyxlim0xxfxxfx)()(00lim0(x0,f(x0))切线的斜率y-y0=f′(x0)(x-x0)3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)=为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式xxfxxfx)()(lim0原函数导函数f（x）=cf′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=f(x)=axf′(x)=cosx0-sinxaxlna(a＞0)nxn-1ex5.导数运算法则（1）［f（x）±g(x)］′=;(2)［f(x)·g(x)］′=;(3)′=(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′=，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.f(x)=exf′(x)=f(x)=logaxf′(x)=f(x)=lnxf′(x)=(a＞0,且a≠1)axln1x1f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x))()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy′·u′y对uu对xxux要点梳理1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为；f′(x)≤0f(x)为.§3.2导数的应用增函数减函数2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)=0f′(x)=0极大值极小值3.函数的最值（1）在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在（a,b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)f(a)4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:题型一导数的几何意义【例1】（12分）已知曲线方程为y=x2,（1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；（2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程.（1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.（2）B不在曲线上，设出切点求切线方程.解（1）∵A在曲线y=x2上,∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点.2分∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4,4分因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.6分思维启迪（2）方法一设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,8分y=kx+5-3k,y=x2得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10.10分所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分方法二设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y′=2x,∴x=x0=2x0,8分由已知kPA=2x0,即=2x0.又y0=代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分∴切点坐标为(1,1),(5,25),∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.12分0035xy20x由|y探究提高（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.题型二函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a的范围.思维启迪解（1）由已知f′(x)=3x2-a.∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只要a≤0.又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.题型三函数的极值与导数【例3】设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.（1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程组求解.（2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定义判断.思维启迪解（1）f′(x)=+2bx+1,xa.3)2)(1(3231)3(32)()2(.61,32,0142)2(.0121)1(2xxxxxxxxxfbabafbaf函数定义域为（0，+∞），列表x(0,1)1(1，2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点.此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系（f′(x)=0）建立字母系数的方程，通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.探究提高题型四函数的最值与导数【例4】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导函数f′(x);(2)若f′(-1)=0，求函数f(x)在［-2，2］上的最大值、最小值.先求函数的极值，然后再与端点值进行比较、确定最值.解（1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f′(x)=3x2-2ax-4.思维启迪（2）因为f′(-1)=0,所以a=,有f(x)=x3-x2-4x+2,所以f′(x)=3x2-x-4.又f′(x)=0,所以x=或x=-1.又f=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在［-2，2］上的最大值、最小值分别为、.21213434275029292750探究提高在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在［a，b］内所有使f′（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f′（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.