3.4-基本不等式课件第一课时最后更新

2abab§3.4基本不等式:第一课时请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？赵爽弦图ab探究图形中的不等关系?22ba问题引入（一）ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab0,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？2abab≥证明：要证只要证_______ab≥①要证①，只要证_____0ab≥②要证②，只要证2(______)0≥③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法22(0,0,(),())abaabb2abab≥)0,0(ba证明不等式：2ab2abba特别地，若a0，b0，则_____2abab≥通常我们把上式写作：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式：在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab适用范围文字叙述“=”成立条件222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式B引例1：若，则（）,lglg,1baPba)2lg(),lg(lg21baRbaQQPRA、RQPB、QPRC、RQPD、应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系1、已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc。题型一：不等式的证明变式1、已知a、b、c、d都是正数，求证：（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd。题型一：不等式的证明变式2、已知x、y都是正数，求证：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3题型一：不等式的证明题型一：不等式的证明变式3：已知a、b、c都是正数，求证：cbacabbacabc变式4已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.思路点拨：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，可由此变形入手．证明：∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．题型一：不等式的证明