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函数与不等式数列综合应用(教案)例1:已知函数2(),0,()1(,0,),()(),0,fxxfxaxbxabaxRFxfxx为实数,(1)若(1)0f,且函数()fx的值域为0,,求()Fx的表达式(2)在(1)的条件下,当2,2x时,()()gxfxkx是单调函数,求实数k的取值范围(3)设mn0,m+n0,a0,且函数()fx为偶函数,判断()()FmFn是否大于0?例2:设定义在R上的函数()fx满足①,对任意的,,()()()xyRfxyfxfy:②当x0时,()fx1,,数列111(0),()(1)nnnaaffanNfa满足且(1)求证1()()fxfx,并判断函数()fx的单调性(2)令nb是最接近na的正整数,即1000121111()2nnnnbabNTnNTbbb其中求例3:设函数1()xfxxae(1)求函数()fx的单调区间(2)若()0fxxR对恒成立,求a的取值范围(3)对任意的n个正整数123123,,,nnaaaaaaaaAn记①求证:1aiiaeA②求证:123nnAaaaa例4:.(江苏19)已知a,b是实数,函数,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf和)(xg是)(),(xgxf的导函数,若0)()(xgxf在区间I上恒成立,则称)(xf和)(xg在区间I上单调性一致.(1)设0a,若函数)(xf和)(xg在区间),1[上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设,0a且ba,若函数)(xf和)(xg在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.答案:322(),(),()3,()2.fxxaxgxxbxfxxagxxb因为函数()fx和()gx在区间[1,)上单调性一致,所以,''[1,),()()0,xfxgx即[1,),x0,xa2(3+)(2x+b)20,30[1,),0,axax2x+b即[1,),,2;xbb2x实数b的取值范围是[2,)由()0,3afxx若0b,则由0a,0(,),(0)(0)0abfgab,()fx和()gx在区间(,)ab上不是单调性一致,所以0b.(,0),()0xgx;又(,),()0;(,0),()033aaxfxxfx.所以要使()()0fxgx,只有,33aaab,1110,0,||333abab取211,0,()()6()39abfxgxxx,当1(,0)3x时,''()()0,fxgx因此max1||3ab当ba时,因为,函数)(xf和)(xg在区间(b,a)上单调性一致,所以,''(,),()()0,xbafxgx即(,),x0,xba2(3+a)(2x+b)0,(,),20baxbaxb,2(,),3,xbaax23,bab设zab,考虑点(b,a)的可行域,函数23yx的斜率为1的切线的切点设为00(,)xy则0001161,,,612xxymax111()1266z;当0ab时,因为,函数)(xf和)(xg在区间(a,b)上单调性一致,所以,''(,),()()0,xabfxgx即(,),x0,xab2(3+a)(2x+b)0,(,),20bxabxb,2(,),3,xabax213,0,3aaamax1();3ba当0ab时,因为,函数)(xf和)(xg在区间(a,b)上单调性一致,所以,''(,),()()0,xabfxgx即(,),(x0,xab22x+b)(3+a)0,b而x=0时,x2(3+a)(2x+b)=ab0,不符合题意,当0ab时,由题意:(,0),x0,xa22x(3+a)2(,0),x0,30,xaaa23+a110,33aba综上可知,max13ab。例5:已知点111222(,),(,),(,)()nnnPabPabPabnN都在函数12xy的图像上,且数列11naa是,公差为d的等差数列(1)证明:数列nb是等比数列(2)若公差d=1,以点nP的横纵坐标为边长的矩形面积为nc,求最大的实数t,使得1nct,0tRt对一切的正整数n都成立(3)对(2)中的数列na,对每个正整数k,在1kkaa与之间插入13k个3,0121223,34(333aaaaaa如在与之间插入,3个,在与之间插入3个,与之间插入3个,,以此类推)得到一个新的数列,nnndSd设是数列的前n项和,试探究2008是否为数列nS中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明例6:已知数列1,22==cossin22nnnnnaa设满足a1,a3,且a=(1+2),nN(1)求21ka,nN(2)数列2211122212111,,,()nnnnnnnbbyby满足ya且当n2时,yyyy证明:12221(1)nnbbnnn当n2时,(3)在(2)的条件下,试比较12111111nbbb与4的大小关系一、选择题1.(福建理10)已知函数()xfxex,对于曲线()yfx上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中,正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B2.(广东文10)设)(),(),(xhxgxf是R上的任意实值函数.如下定义两个函数xgf和xgf;对任意Rx,)(xgfxgf;)(xgxfxgf.则下列等式恒成立的是()A.)(xhghfxhgfB.)(xhghfxhgfC.)(xhghfxhgfD.)(xhghfxhgf【答案】B3.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:3002tMtM,其中0M为0t时铯137的含量,已知30t时,铯137的含量的变化率是2ln10(太贝克/年),则60MA.5太贝克B.2ln75太贝克C.2ln150太贝克D.150太贝克【答案】D【解析】因为300/22ln301tMtM,则2ln1022ln3013030300/MM,解得6000M,所以302600ttM,那么150416002600603060M(太贝克),所以选D.4.(湖南理8)设直线xt与函数2(),()lnfxxgxx的图像分别交于点,MN,则当||MN达到最小时t的值为()A.1B.12C.52D.22【答案】D【解析】由题2||lnMNxx,(0)x不妨令2()lnhxxx,则1'()2hxxx,令'()0hx解得22x,因2(0,)2x时,'()0hx,当2(,)2x时,'()0hx,所以当22x时,||MN达到最小。即22t。5.(江西理7)观察下列各式:312555,1562556,7812557,…,则20115的末四位数字为A.3125B.5625C.0625D.8125【答案】D【解析】观察可知当指数为奇数时,末三位为125;又)11004(252011,即20115为第1004个指数为奇数的项,应该与第二个指数为奇数的项(7812557)末四位相同,∴20115的末四位数字为81256.(辽宁理11)函数)(xf的定义域为R,2)1(f,对任意Rx,2)(xf,则42)(xxf的解集为A.(1,1)B.(1,+)C.(,1)D.(,+)【答案】B7.(全国Ⅰ理12)函数11yx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】D8(山东理10)已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数,且当02x时,3()fxxx,则函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(A)6(B)7(C)8(D)9【答案】A【解析】因为当02x时,3()fxxx,又因为()fx是R上最小正周期为2的周期函数,且(0)0f,所以(6)(4)(2)(0)0ffff,又因为(1)0f,所以(3)0f,(5)0f,故函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为6个,选A.9.(天津理8)设函数212log,0log,0xxfxxx若fafa,则实数a的取值范围是().A.1001,,UB.11,,UC.101,,UD.101,,U【答案】C【解析】若0a,则212loglogaa,即22log0a,所以1a,若0a则122loglogaa,即22log0a,所以01a,10a。所以实数a的取值范围是1a或10a,即101a,,U.故选C.10.(天津文10)设函数22gxxxR,4,,,,gxxxgxfxgxxxgx则fx的值域是().A.9,01,4UB.0,,C.9,4D.9,02,4U【答案】D【解析】解22xgxx得220xx,则1x或2x.因此22xgxx的解为:12x.于是222,12,2,12,xxxxfxxxx或当1x或2x时,2fx.当12x时,2219224xxx,则94fx,又当1x和2x时,220xx,所以904fx.由以上,可得2fx或904fx,因此fx的值域是9,02,4U.故选D.11.(重庆理10)设m,k为整数,方程220mxkx在区间(0,1)内有两个不同的根,则m+k的最小值为(A)-8(B)8(C)12(D)13【答案】D12.(天津理16)设函数21fxx.对任意3,2x,2414xfmfxfxfmm恒成立,则实数m的取值范围是.【答案】33,,22U.【解析】解法1.不等式化为21440xfxfmfmfxm,即222222211441440xxmmxmm,整理得222114230mxxm,因为20x,所以22212314xmmx,设223xgxx,3,2x.于是题目化为22114mgxm,对任意3,2x恒成立的
本文标题:_函数与导数数列综合应用教案
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