线性代数试题及答案

-1-（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列7623451的逆序数是_______。2.若122211211aaaa，则160030322211211aaaa3.已知n阶矩阵A、B和C满足EABC，其中E为n阶单位矩阵，则CAB1。4.若A为nm矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是_________5.设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。6.设A为三阶可逆阵，1230120011A，则*A7.若A为nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321D，则4544434241AAAAA9.向量(2,1,0,2)T的模（范数）______________。10.若Tk11与T121正交，则k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.向量组r,,,21线性相关且秩为s，则(D)Ａ．srＢ．srＣ．rsＤ．rs2.若A为三阶方阵，且043,02,02EAEAEA，则A(A)Ａ．8Ｂ．8Ｃ．34Ｄ．34-2-3．设向量组A能由向量组B线性表示，则(d)Ａ．)()(ARBRＢ．)()(ARBRＣ．)()(ARBRＤ．)()(ARBR4.设n阶矩阵A的行列式等于D，则kA等于_____。c)(AkA)(BAkn)(CAkn1)(DA5.设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。)(AACAB则CB)(B0AB,则0A或0B)(CTTTBAAB)()(D22))((BABABA三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）1.计算n阶行列式22221D222222232221222nn2222。2．设A为三阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，且21A，求*AA2)3(1.3．求矩阵的逆111211120A4.讨论为何值时，非齐次线性方程组21231231231xxxxxxxxx①有唯一解；②有无穷多解；③无解。5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。522132243143214321xxxxxxxxxxx6.已知向量组T32011、T53112、T13113、-3-T94214、T52115，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．7.求矩阵201034011A的特征值和特征向量．四、证明题（本题总计10分）设为bAX0b的一个解，12,nr为对应齐次线性方程组0AX的基础解系，证明12,,nr线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1~15；2、3；3、CA；4、nbARAR),(；5、2；6、123012001；7、nAR；8、0；9、3；10、1。.二、选择题（本题总计10分，每小题2分1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）1、解：D),,4,3(2nirri00021000220012203022n20022n------3分122rr00001000220012203022n20022n-------6分)!2(2)2()3(21)2(1nnn----------8分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）解：（1）11111111124121311211111111112AAB------1分-4-222222222602222464420004242------5分（2）171111610239511311131122BA161287113084--------8分3.设A为三阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，且21A，求*AA2)3(1.因*AA＝EE21A，故411nA*A3分**AAA211A5分27164134342322)3(31****AAAAA8分4、解：100111010011001001),(EA1312rrrr101110011010001001---3分23rr112100011010001001)1()1()1(321rrr112100011010001001---6分故1120110011A-------8分（利用AAA11公式求得结果也正确。）5、解；21111111),(bA131231rrrrrr322211101101123rr)1()1()1)(2(0011011222---------3分（1）唯一解：3),()(bARAR21且------5分（2）无穷多解：3),()(bARAR1--------7分（3）无解：),()(bARAR2--------9分（利用其他方法求得结果也正确。）-5-6、解：522011113221111),(bAr000003111052201--------3分0022432431xxxxxx基础解系为01121，10122-----6分3522432431xxxxxx令043xx，得一特解：0035---7分故原方程组的通解为：101201120035212211kkkk，其中Rkk21,---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）7、解：特征方程2110430(2)(1)102AE从而1232,1(4分)当12时，由(2)0AEX得基础解系1(0,0,1)T，即对应于12的全部特征向量为11k1(0)k(7分)当231时，由()0AEX得基础解系2(1,2,1)T，即对应于231的全部特征向量为22k2(0)k四、证明题（本题总计10分）证：由12,nr为对应齐次线性方程组0AX的基础解系，则12,nr线性无关。(3分)反证法：设12,,nr线性相关，则可由12,nr线性表示，即：rr11(6分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是0AX的解。这与已知条件为bAX0b的一个解相矛盾。(9分).有上可知，12,,nr线性无关。(10分)(试卷二)一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1.排列6573412的逆序数是．2.函数()fx21112xxxxx中3x的系数是．-6-3．设三阶方阵A的行列式3A,则*1()A=A/3．4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．5．设向量(1,2,1)T，=22正交，则．6．三阶方阵A的特征值为1，1，2，则A＝．7.设1121021003A，则_________A.8.设A为86的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A为n阶方阵，且A＝2则1*1()3AA．10．已知20022311Ax相似于12By，则x，y．二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.设n阶矩阵A的行列式等于D，则A－5等于．(A)(5)nD(B)-5D(C)5D(D)1(5)nD2.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是.(A)矩阵A有n个线性无关的特征向量(B)矩阵A有n个特征值(C)矩阵A的行列式0A(D)矩阵A的特征方程没有重根3．A为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充要条件是．(A)(,)RAbm(B)()RAm(C)()(,)RARAbn(D)()(,)RARAbn-7-4.设向量组A能由向量组B线性表示，则()(A)．)()(ARBR(B)．)()(ARBR(C)．)()(ARBR(D)．)()(ARBR5.向量组12,,,s线性相关且秩为r，则．(A)rs(B)rs(C)rs(D)sr三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1.计算n阶行列式:22221D222222232221222nn2222.2．已知矩阵方程AXAX，求矩阵X,其中220213010A.3.设n阶方阵A满足0422EAA,证明3AE可逆，并求1(3)AE.4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234xxxxxxxxxxxxxxx5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.20126．已知二次型：323121232221321844552),,(xxxxxxxxxxxxf，用正交变换化),,(321xxxf为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．-8-四、证明题（本题总计10分，每小题10分）设11ba,212baa,,12rrbaaa,且向量组raaa,,,21线性无关，证明向量组rbbb,,,21线性无关.(答案二)一、填空题（本题总计20分，每小题2分）1.172.-23．13A4．()RAn5．26．-27．116A或121102160038．29、21n）（－10、2,0yx二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1.A2.A3.C4.D5.B三、计算题（本题总计60分，每小题10分）1、解：D),,4,3(2nirri00021000220012203022n20022n------4分122rr00001000220012203022n20022n-------7分)!2(2)2()3(21)2(1nnn---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）2．求解AXAX，其中220213010A解：由AXAX得1XAEA(3分)-9-