2018年考研数学一考试大纲及其解读

2018年考研数学一考试大纲及其解读2017-09-18考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%四、试卷题型结构单选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分1高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．函数——对任意自变量，只有唯一因变量与之对应（知道就行）2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．一般性了解（知道就行），有界性（连续函数必有界），单调性、周期性、奇偶性后面几章会用到3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．会求分段函数的复合函数，知道反函数的基本性质（与原函数对应关系相反），隐函数了解概念即可（非显函数）4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．要求同考纲，初等函数在定义域内均连续5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．了解（知道）极限定义，相关证明没有要求，左右极限需要掌握6．掌握极限的性质及四则运算法则．唯一性和保号性（重要），熟练掌握四则运算法则7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．掌握用夹逼定理（适用于函数和数列）和单调有界定理（适用于数列）求极限8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．知道什么是无穷小量（趋于0）、无穷大量（趋于正负无穷），掌握无穷小量的比较方法（作比，理解低阶、同阶、等价和高阶无穷小），熟练掌握用等价无穷小求极限（只适用于因式）9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．掌握连续判断、间断点类型及其判断10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．熟练掌握并会使用有界性（闭区间连续函数必有界）、最值定理、零点定理和介值定理解题2二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．导数定义式必须熟练掌握并会使用，其他要求同上（会计算）2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．尽可能掌握一阶微分形式不变性并会用其解题，其他要求同上3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．知道什么是高阶导数，会用莱布尼茨公式求高阶导数4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．要求同上，特别注意分段点的导数（用定义式）5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．熟练掌握并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西中值定理和泰勒（Taylor）定理，前三个定理证明也需要掌握6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．要求同上，牢记洛必达法则使用的三个条件7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．以上内容需全部掌握，还需要分清极值与最值，极值与导数为零的点的关系8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．函数形态、拐点、渐近线重点掌握9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．会计算曲率和曲率半径（两个公式），曲率圆一般性了解3三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．非常清晰的理解原函数和可积的关系，弄清不定积分（函数）和定积分（常数）的本质2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．不定积分和定积分计算是重点内容，近年不定积分解答题出题频率变小，定积分出解答题频率变大，两块都不能掉以轻心3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．必须掌握，可能以填空题形式出现4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．重要考点，常与极限洛必达法则联用，必须掌握5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．掌握反常积分和其计算（重点是计算）6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．积分的实际应用必须掌握，大概率解答题内容4四、向量代数和空间解析几何考试内容向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件．3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法．4．掌握平面方程和直线方程及其求法．5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题．6．会求点到直线以及点到平面的距离．7．了解曲面方程和空间曲线方程的概念．8．了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程．9．了解空间曲线的参数方程和一般方程．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程．1~9加粗部分为本章必须掌握的重点，其余内容一般性了解5五、多元函数微分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义．知道是什么东西就行2．了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．2.3会求二重极限和判断连续、可微、可偏导等、理解偏导数和全微分及其表达形式，会用全微分形式不变性求偏导4．理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法．掌握方向导数与梯度意义和公式并计算5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．多元函数微分学重点——会求偏导数6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．会用多种方法求隐函数的偏导数（树形图、全微分等）7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法以及应用8．了解二元函数的二阶泰勒公式．知道就行9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．掌握二元函数极值存在条件并会用公式判断，会用拉格朗日乘数法求条件极值并解决简单的应用题6六、多元函数积分学考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．4．掌握计算两类曲线积分的方法．5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分．7．了解散度与旋度的概念，并会计算．8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）．1~8条加粗的部分是本章必须掌握的重点内容7七、无穷级数考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数考试要求1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10．掌握．．．