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第一章状态空间表达式1.考虑由下式确定的系统试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型。解:2(课后习题1-5)系统的动态特性由下列微分方程描述uuyyyy2375列写相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。解:3752)()()(23sssssUsYsG012100573100010CBA第二章控制系统状态空间表达式的解(1)求解状态转移矩阵的方法(2)输出求解公式d)(e)0(e)(0)(tttutbxxAA1某系统的状态方程和输出方程为.,56,)(2121221xxyxxxtuxx(a)求它的状态转移矩阵Φ(t).(b)若u(t)=1(t),1)0(1x,0)0(2x求1x(t),2x(t)和y(t).解:(a)求矩阵指数:5610A,)3)(2()3)(2(6)3)(2(1)3)(2(5)(1sssssssssssAItttttttttsL2323232312ee3e6e6eee3e2)(eAIA(b)由公式得de6e6e3e2012ee2e6e6eee3e2d)(e)0(e)(0)(2)(3)(2)(3232323230)(ttttttttttttttttutbxxAAtttttttt23232323e3e21e323e3265e6e6e3e2tttt2323e3e41e323e3465tttxtxty2321e29e316611)()()(第三章能控能观性(1)概念(2)判别方法:判别矩阵、标准型法、传递函数阵法(3)标准型:能控标准I型、能观标准型II型能控标准I型能观标准型II型(4)结构分解的方法1.给定系统xxx11,1101yuba,求系统状态完全可控和可观时,参数a和b之值.解:线计算可控性矩阵和可观性矩阵:ba111CQ,1detCabQ;ba111OQ,ab1detOQ。显然1ab时,系统可控且可观。2.判断下列系统的状态可控性和可观性:(1)2101A,01b,10Tc;(2)5000150001500002A,1002b,0011Tc;3.给定系统xyuxx111100341010121试判断系统的能控性和能观性。若系统不能控或不能观,请找出其可控子系统或可观子系统。解:(1)可控性可观性判别。8310004102CbAAbbQ,2rankCQ。系统不完全可控。4742321112OcAcAcQ,2rankOQ。系统不完全客观。(2)能控性分解取能控性判别矩阵的不相关的列向量(第1和第2列),再取与它们均不相关的列向量组成变换矩阵031100010T,0100011031T因此,100241240~1--=-ATTA,001~1bTb-,121~cTc可控子系统为:4140~11A,01~1b,21~1c(3)能观性分解取能控性判别矩阵的不相关的行向量(第1和第2行),再取与它们均不相关的行向量,得1002321111T,100012113T因此235032010~1ATTA-=,121~1bTb-,001~cTc可观子系统为:3210~11A,21~1b,01~1c第四章李亚普诺夫稳定性A李亚普诺夫第一法:(1)线性系统:判断系统矩阵所有特征根均有负实部。(2)非线性系统:近似线性化,判断雅可比矩阵是否全部有负实根。B李亚普诺夫第二法:(1)李亚普诺夫函数(二次型函数)(2)李亚普诺夫方程:相应的李氏函数(3)克拉索夫斯基方法:,雅可比矩阵1确定使下列二次型函数为正定时,待定常数a,b,c的取值范围。(b)133211232221242)(xxxxxxcxbxaxVx;解:321321212111)(xxxcbaxxxVx要使二次型函数正定,则需cba212111P正定,即0a,01ab,044cababc。2(课后习题4-10)用李亚普诺夫第二方法证明当120,0aa时系统221211221xxaxaxxx的原点是大范围渐进稳定的。证:(i)确定平衡态,令021xx,解得021xx(ii)令22211)(xxaVx,则0222)(2221222111xxaxxxxaVx(iii)判断222122)(xxaVx不沿任何运动轨迹恒等于0若02)(22212xxaVx,则有01x或02x若01x,则必有02x;若02x,则必有01x。所以)(xV不沿任何运动轨迹恒等于0,于是原点渐近稳定。(iv)且x时,)(xV,所以,原点是大范围渐近稳定的。3(课后习题4-11)设非线性系统52212211bxxxxxaxx试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐近稳定时,参数a和b的取值范围。解:应用克拉索夫斯基方法)]()([)(xPJPxJxQT,取IP,即有且有0)()()(25221221bxxxxaxxxxPxxVTT第五章线性定常系统的状态反馈A三种反馈形式:(1)状态反馈;(2)输出反馈;(3)由输出到状态导数的反馈B闭环系统的能控性和能观性:(1)状态反馈不改变受控系统的能控性,但不保证系统能观性不变;(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性。C极点配置:(1)状态反馈进行闭环系统任意极点配置的条件为系统完全能控;(2)求法:期望特征多项式=设计的闭环特征多项式D系统镇定(1)系统镇定是系统极点配置问题的特殊情况;(2)利用状态反馈进行镇定的充要条件:不能控部分为渐近稳定(不能控部分的极点具有负实部)。E观测器设计(1)观测器方程:GyBuxGCAxˆ)(ˆ(2)观测器极点配置F基于观测器的状态反馈(1)观测器与状态反馈分别设计:分离原理(2)极点配置1已知系统状态方程u111011xx.计算状态反馈矩阵,使闭环极点为2和3。解:(i)1121CQ,2rankCQ,系统完全可控。可由状态反馈任意配置闭环系统的极点。(ii)希望的极点为21s,32s,所以希望的闭环特征多项式为65)3)(2()(2dsssssf设状态反馈矩阵为21Tfff,则闭环特征多项式为22122121Tc1)2(111det)(det)(fsffsfsfffsssfbfAI由)()(cdsfsf可得5221ff,612f。解得121f,52f。(iii)实现闭环极点配置的状态反馈矩阵是51221Tfff。2试判别系统的状态反馈可镇定性.如果可镇定,求状态反馈矩阵的全解.201020101A,100b.解:先判断可控性021100310CQ,2rankCQ,不完全可控。取021100010T,则0100011021T,于是200031010~1ATTA,001~1bTb3110~11A,01~1b为可控部分;2~22A,0~2b为不可控部分,但不可控部分极点为2,是渐近稳定的,因此该系统状态反馈可镇定。取321T~~~~ffff,则200031~~1~det)~~~(det321ssfffssFBAI1~~3)3~()2(2112ffsfss取3~1f,1~~321ff,即可镇定该系统。则13211TT~~~~2~ffffTff其中3~1f,121~1~~2fff,3~f可取任意值。3给定受控系统系数矩阵如下0001A,11b,12c.设计受控系统的基本观测器,使观测器极点为1两重根.解:(i)判断可观性.0212OQ,2rankOQ,系统的状态完全可观测,观测器的极点可以任意配置。(ii)希望的观测器的特征多项式为12)1()(22dssssf设观测误差输出反馈矩阵为TbaG,则闭环特征多项式为bsbasbsbaasGssf)12(212det)(det)(2ccAI由)()(cdsfsf求得T12G。所以观测器方程为yu1211ˆ1223ˆxx
本文标题:现代控制理论复习课
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