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当前位置:首页 > 高等教育 > 其它文档 > 22.1.2-二次函数图象和性质
2014最新人教版九年级上册数学22.1.2二次函数y=ax²和y=ax²+k的图像和性质1、二次函数的一般形式是怎样的?y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)2.下列函数中,哪些是二次函数?①2xy42312xxy⑤12xxy④2xxy③xxy12②你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:x…-3-2-10123…y=x2……9411049xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?2xy二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.议一议(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?(4)当x0时,随着x的值增大,y的值如何变化?当x0呢?(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?观察图象,回答问题:2xyxyO(1)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点?2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.当x=-2时,y=4当x=-1时,y=1当x=1时,y=1当x=2时,y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状?做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗?(2)先想一想,然后作出它的图象.(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?xy=-x2x…-3-2-10123…y=-x2x…-9-4-10-1-4-9…在学中做—在做中学做一做xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2?2xy当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y当x=-2时,y=-4当x=-1时,y=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.画一画在同一坐标系中画出函数y=3x2和y=-3x2的图象1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质2axy2axy做一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在对称轴侧,y随着x的增大而增大;在对称轴侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外).(2)抛物线在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的;在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y0.232xyx…-3-2-10123…y解:(1)列表…9410149…(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2画最简单的二次函数y=x2的图象你还记得描点法的一般步骤?列表时应注意什么问题?描点法列表描点连线描点时应以哪些数值作为点的坐标?连线时应注意什么问题?二次函数y=x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上,这条曲线叫做抛物线y=x2,二次函数y=x2的图象是轴对称图形,一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c12345x12345678910yo-1-2-3-4-5抛物线与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点它是抛物线的最低点.2xy2xy2xy实际上,二次函数的图象都是抛物线,对称轴是y轴2xy这条抛物线是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?抛物线与对称轴有交点吗?x…-4-3-2-101234…y=x2例1.在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=2x2的图象解:(1)列表(2)描点(3)连线12345x12345678910yo-1-2-3-4-5128…20.500.524.58…4.5122yx212yx22yxxy=2x28…………-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.5812345x12345678910yo-1-2-3-4-5函数y=x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?12共同点:不同点:开口都向上;顶点是原点而且是抛物线的最低点,对称轴是y轴开口大小不同;2yx212yx22yx|a|越大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小。在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大。抛物线的开口越小。探究画出函数的图象.2222,21,xyxyxyx1y解:(1)列表(2)描点(3)连线x…-2-1.5-1-0.500.511.52…y=-x2y=-x2y=-2x212………………-4-2.25-1-0.25000-0.25-1-2.25-4-2-2-8-8-2-2-0.5-0.5-0.5-0.5-1.125-1.125-0.125-0.125-4.5-4.5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy22xyx1y-1-2-30123-1-2-3-4-5函数y=-x2,y=-2x2的图象与函数y=-x2(图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?12共同点:开口都向下;不同点:顶点是原点而且是抛物线的最高点,对称轴是y轴开口大小不同;|a|越大,221xy2xy22xy在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大。在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小。抛物线的开口越小.(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到;y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到。(3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向平移个单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4对比抛物线,y=x2和y=-x2.它们关于x轴对称吗?一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2呢?在同一坐标系内,抛物线与抛物线是关于x轴对称的.2axy2axy2xy2xy22xy232xy1、根据左边已画好的函数图象填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是,在侧,y随着x的增大而增大;在侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小值是,抛物线y=2x2在x轴的方(除顶点外)。(2)抛物线在x轴的方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的;在对称轴的右侧,y随着x的,当x=0时,函数y的值最大,最大值是,当x0时,y0.232xy(0,0)y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2-1的图像解:列表x…-3-2-10123…y=x2+1y=x2-1…105212510……830-1038…12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2+1y=x2-1描点连线(1)抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?(1)抛物线y=x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=x2-1:开口向上,顶点为(0,-1).对称轴是y轴,12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2+1y=x2-1当a0时,抛物线y=ax2+k的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于;当a0时,抛物线y=ax2+k的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于。42-2-4-6-8y-10-5510xO108642-2y-10-5510xOy=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k(4)抛物线y=-3x2+5的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于。6.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象经过点A(1,-1),B(2,5),则函数y=ax2+c的表达式为。若点C(-2,m),D(n,7)也在函数的图象上,则点C的坐标为点D的坐标为.(5)抛物线y=7x2-3的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于。下y轴(0,5)减小增大0大5上y轴(0,-3)减小增大0小-3y=2x2-3(-2,5))7,5()7,5(或y=ax2(a≠0)a0a0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x0时,y随着x的增大而减小。当x0时,y随着x的增大而增大。x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,|a|越大,当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而减小。抛物线的开口就越小.|a|越小,抛物线的开口就越大.1、二次函数y=ax2的图象是什么?2、二次函数y=ax2的图象有何性质?3、抛物线y=ax2与y=-ax2有何关系?小结归纳二次函数的图象及性质:2axy1.图象是一条抛物线,对称轴是y轴,顶点是原点。归纳二次函数的图象及性质:2axy2.当a0时,开口向上,顶点是最低点,a值越大,抛物线开口越小;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大。归纳二次函数的图象及性质:2axy3.当a0时,开口向下,顶点是最高点,a值越大,抛物线开口越大;在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小。巩固1、说出下列函数图象的性质:23)2(xy231)3(xy23)1(xy2、已知二次函数的图形经过点(-2,-3)。(1)求a的值,并写出函数解析式;(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置;2axy巩固巩固3、若抛物线的开口向下,求n的值。nnxny2)1(巩固4、若抛物线上点P的坐标为(2,-24),则抛物线上与P点对称的点P’的坐标为。26xy巩固5、若m0,点(m+1,y1)、(m+2,y2)、241xyy1、y2、y3的大小关是。(m+3,y3)在抛物线上,则练习1.把抛物线向下平移2个单位,可以得到抛物线,再向上平移5个单位,可以得到抛物线;2.对于函数y=–x2+1,当x时,函数值y随x的增大而增大;当x时,函数值y随x的增大而减小;当x时,函数取得最值,为。221xy2212xy3212xy<0>0=0大03.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.已
本文标题:22.1.2-二次函数图象和性质
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