1.62《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

1.62《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42.（1）当△0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m＝±1，又∵m－1≠0，∴m≠1，故m＝－1.【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程，求m的值．【答案】根据题意得22,20,mm解得所以当方程2(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程时，2m．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0xx；(2)225(3)9xx；(3)2(21)4(21)40xx．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0xx，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴(2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴7x-16＝0或-3x+4＝0，∴1167x，243x．(2)25(3)(3)(3)xxx，25(3)(3)(3)0xxx，∴(x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴x-3＝0或4x-18＝0，∴13x，292x．(3)2(21)4(21)40xx，∴2(212)0x．即2(23)0x，∴1232xx．【总结升华】(1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]xx，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程：(1)3x+15＝-2x2-10x；(2)x2-3x＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10x)＝0，∴3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴x+5＝0或3+2x＝0，∴15x，232x．(2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴(x-3)(2x-2)＝0，∴x-3＝0或2x-2＝0，∴13x，21x．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x的方程2(5)410axx有实数根．则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【答案】A；【解析】①当50a，即5a时，有410x，14x，有实数根；②当50a时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a，解得1a且5a．综上所述，使关于x的方程2(5)410axx有实数根的a的取值范围是1a．答案：A【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．4．k为何值时，关于x的二次方程2690kxx（1）k满足时,方程有两个不等的实数根；（2）k满足时,方程有两个相等的实数根；（3）k满足时,方程无实数根.【答案】（1）10kk＜，且；（2）1k；（3）1k＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式acb42及k≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知关于x的方程222(2)0xmxm，试探求：是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】存在．设方程两根为x1、x2，根据题意，得122(2)xxm，212xxm，221256xx，而222121212()2xxxxxx，于是有222(2)256mm，整理得28200mm，解这个方程得110m，22m，当10m时，△＝2224[2(2)]41440bacmm，当2m时，△＝2224[2(2)]4480bacmm，所以符合条件的m的值为-2．【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.举一反三：【变式】已知关于x的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根1x、2x．(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130kkkk，所以1312k．由k-1≠0，得k≠1.当1312k且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301kxxk，解得32k．当32k时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得54(4)2040460xxxx解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.答：甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】（1）1000m2；（2）20%.【巩固练习】一、选择题1.关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A.－1B.0C.1D.－1或12．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则22211aaa的值为（）A.152B.152C.﹣1D.13．若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（）A.1B.8C.16D.614．已知关于x的方程2(2)230mxmxm有实根，则m的取值范围是（）A．2mB．6m且2mC．6mD．6m5．如果是、是方程2234xx的两个根，则22的值为（）A．1B．17C．6.25D．0.256．在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=07.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是()A．0B．1C．2D．38.若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．则k的值为（）A.－1或B.－1C.D.不存在二、填空题9．关于x的方程2()0axmb的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程2(2)0axmb的解是.10．已知关于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)＝0有实根，则a、b的值分别为．11．已知α、β是一元二次方程2430xx的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．12．当m_________时，关于x的方程是一元二次方程；当m_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.14．已知，则的值等于_________.15．已知，那么代数式的值为________.16．当x=_____