北师大版高中数学必修二2.3.1-直线与圆的位置关系

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系2.3.1直线与圆的位置关系第二章解析几何初步•1请大家仔细观察!实例1一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？港口40km台风中心70km实例2：O为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10km为单位长度．港口轮船xyxy这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为22xy9轮船航线所在直线l的方程为4x7y280问题归结为：圆心为O的圆与直线l有无公共点．本节课我们学习解决它的方法！O港口轮船xy1.了解直线与圆的位置关系.（重点）2.会用几何法与代数法来判断直线与圆的位置关系．（重点、难点）3.掌握圆的切线方程的求法及有关弦长问题.（难点）为了大家能看的更清楚些.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!请大家把直线和圆的公共点个数情况总结一下,并把相应的图形画出来.总体看来应该有下列三种情况:(1)直线和圆有一个公共点(2)直线和圆有两个公共点.(3)直线和圆没有公共点.(2)直线和圆有唯一一个公共点时,叫作直线和圆相切.(3)直线和圆有两个公共点时,叫作直线和圆相交.(1)直线和圆没有公共点时,叫作直线和圆相离.大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离这一数量关系来刻画;那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画呢?下面我们一起来研究一下!想一想．o圆心O到直线L的距离dL半径r(1)直线L和⊙O相离,此时d与r大小关系为_____.dr数形结合．o圆心O到直线L的距离d半径r(2)直线L和⊙O相切,此时d与r大小关系为______.Ld=r．o圆心O到直线L的距离d半径r(3)直线L和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________.Ldr(1)当dr时,能否得出直线和圆的位置关系为相离?(2)当d=r时,能否得出直线和圆的位置关系为相切?(3)当dr时,能否得出直线和圆的位置关系为相交?(d为圆心O到直线L的距离,r为圆O的半径)思考注明:符号”读作“等价于”.它表示从左端可以推出右端,并且从右端也可以推出左端.几何法判断直线和圆的位置关系直线L和⊙O相交dr直线L和⊙O相切d=r直线L和⊙O相离dr利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2220设方程组的解的个数为,()()AxByCnxaybr直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交n=0n=1n=2Δ0Δ=0Δ0相离相切相交drd=rdr方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解直线与圆的位置关系的判断方法【提升总结】已知圆的圆心为C（1,1)，半径r=1.(1)点C到直线x-y-2=0的距离为又r=1,所以d1r,可知直线与圆相离.解：122|112|2.1(1)d例1.判断下列直线与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系：（1）x-y-2=0;(2)x+2y-1=0.(2)建立方程组22210,(1)(1)1,xyxy①②由①可知x=-2y+1，代入②得22(211)(1)1yy，化简得2520.yy解此一元二次方程得20.5yy或所以11502.5xxyy，，或，12B(,).55故直线与圆相交于两个不同的点A(1,0),判断直线4x-3y-2=0与圆(x-3)2+(y+5)2=36的位置关系.已知圆的圆心为O（3,-5)，半径r=6.点O到直线4x-3y-2=0的距离为又r=6,所以d1﹤r,可知直线与圆相交.122|433(5)2|543d，解：【变式练习】例2.设直线mx-y+2=0与圆x2+y2=1相切，求实数m的值.已知圆的圆心为O（0，0），半径r=1,则O到已知直线的距离由已知得d=r,即解：222|0(1)02|2.(1)1mdmm2211m，解得3.m利用相切的等价条件22A(4,3)(x3)(y1)1过点作圆的切线，求此切线的方程.【思路探索】利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．【变式练习】解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝.所以切线方程为y＋3＝(x－4)，即15x＋8y－36＝0.2|3k134k|k12k1158158(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.1．⊙O的半径为3,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O没有公共点，则d的取值范围为（）A．d＞3B．d3C．d≤3D．d=32．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的位置关系是（）A．相离B.相交C.相切D.相切或相交AC22214xy5.如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．360xy+-=22240xyy+--=联立解得：122,1xx==所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是：把代入方程①，得；122,1xx==10y=把代入方程①，得．122,1xx==23y=A（2，0），B（1，3）2320-+=，xx解：223xy60xy2y40，得，①②ì+-=ïïíï+--=ïî判定直线与圆的位置关系的方法有两种(1)代数方法，由直线与圆的公共点的个数来判断(2)几何方法，由圆心到直线的距离d与半径r的关系判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.