高考数学复习详细资料(精品)导数及其应用

花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830导数及其应用【最新考纲透析】1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数231(),,,,,yCCyxyxyxyyxx为常数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如()faxb的复合函数）的导数。3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。6、求导数的方法(1)八个基本求导公式)(C＝；)(nx＝；(n∈Q))(sinx＝，)(cosx＝)(xe＝，)(xa＝)(lnx＝，)(logxa＝(2)导数的四则运算)(vu＝])([xCf＝)(uv＝，)(vu＝)0(v(3)复合函数的导数设)(xu在点x处可导，)(ufy在点)(xu处可导，则复合函数)]([xf在点x处可导，且)(xf＝，即xuxuyy.0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830xx1)'(ln；exxaalog1)'(log；xxee)'(奎屯王新敞新疆aaaxxln)'(奎屯王新敞新疆【核心要点突破】要点考向1：利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1．利用导数研究曲线()yfx的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。考向链接：1．导数的几何意义函数()yfx在0x处的导数()fx的几何意义是：曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数()st对时间t的导数）。2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()yfx在点0xx的导数，即曲线()yfx在点00(,())Pxfx处切线的斜率；（2）在已知切点坐标00(,())Pxfx和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()yyfxxx。注：①当曲线()yfx在点00(,())Pxfx处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0xx；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例1：（2011山东文）4.曲线211yx在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(A)-9(B)-3(C)9(D)15（2010·海南高考·理科T3）曲线2xyx在点1,1处的切线方程为（）（A）21yx（B）21yx（C）23yx（D）22yx【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830【规范解答】选A.因为22(2)yx，所以，在点1,1处的切线斜率1222(12)xky，所以，切线方程为12(1)yx，即21yx，故选A.（2011重庆文）3．曲线223yxx在点（1，2）处的切线方程为AA．31yxB．35yxC．35yxD．2yx（2011湖南文）7．曲线sin1sincos2xyxx在点(,0)4M处的切线的斜率为（）A．12B．12C．22D．22答案：B解析：22cos(sincos)sin(cossin)1'(sincos)(sincos)xxxxxxyxxxx，所以2411'|2(sincos)44xy。要点考向2：利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。考向链接：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数()fx；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数()fx的定义域内解（或证明）不等式()fx＞0或()fx＜0。②若已知()fx的单调性，则转化为不等式()fx≥0或()fx≤0在单调区间上恒成立问题求解。例2：（山东文）10．函数2sin2xyx的图象大致是C花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830【解析】因为'12cos2yx,所以令'12cos02yx,得1cos4x,此时原函数是增函数;令'12cos02yx,得1cos4x,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.（2011安徽文）（18）（本小题满分13分）设21)(axexfx，其中a为正实数.（Ⅰ）当34a时，求()fx的极值点；（Ⅱ）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对)(xf求导得.)1(1)(222axaxaxexfx①（I）当34a，若.21,23,0384,0)(212xxxxxf解得则综合①,可知所以,231x是极小值点,212x是极大值点.（II）若)(xf为R上的单调函数，则)(xf在R上不变号，结合①与条件a0，知0122axax在R上恒成立，因此,0)1(4442aaaa由此并结合0a，知.10ax)21,(21)23,21(23),23()(xf+0－0+)(xf↗极大值↘极小值↗花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830（2011广东文）19．（本小题满分14分）设0a，讨论函数2()ln(1)2(1)fxxaaxax的单调性．解：函数()fx的定义域为(0,)212(1)2(1)1()2(1)2(1)aaxaxfxaaxaxx令2()2(1)2(1)1gxaaxax224(1)8(1)121644(31)(1)aaaaaaa①当103a时，0，令()0fx，解得1(31)(1)2(1)aaaxaa则当1(31)(1)02(1)aaaxaa或1(31)(1)2(1)aaaxaa时，()0fx当1(31)(1)1(31)(1)2(1)2(1)aaaaaaxaaaa时，()0fx则()fx在1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa，1(31)(1)(,)2(1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1)1(31)(1)(,)2(1)2(1)aaaaaaaaaa上单调递减②当113a时，0，()0fx，则()fx在(0,)上单调递增③当1a时，0，令()0fx，解得1(31)(1)2(1)aaaxaa∵0x，∴1(31)(1)2(1)aaaxaa则当1(31)(1)02(1)aaaxaa时，()0fx当1(31)(1)2(1)aaaxaa时，()0fx花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830则()fx在1(31)(1)(0,)2(1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1)(,)2(1)aaaaa上单调递减【方法技巧】1、分类讨论的原因(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.2、分类讨论的原则(1)要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4)归纳总结，得出结论.要点考向3：利用导数研究函数的极值与最值考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重要工具，几乎是近几年各省市高考中极值与最值问题求解的必用方法。2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式、或指、对数式结构，多以解答题形式出现，属中高档题。考向链接：1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数()fx。（3）①或求极值，则先求方程()fx=0的根，再检验()fx在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()fx=0的根的大小或存在情况，从而求解。2．求函数()yfx的极值与端点处的函数值(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例3：（2011辽宁文）（16）已知函数axexfx2)(有零点，则a的取值范围是____(,2ln22]_______．（2011北京文）（18）（本小题共13分）已知函数()()xfxxke。（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值。【解析】：（Ⅰ）.)1()(3ekxxf令0xf，得1kx．)(xf与)(xf的情况如下：x（kk,）1k（),1(k)(xf—0+)(xf↗1ke↗所以，)(xf的单调递减区间是（1,k）；单调递增区间是),1(k（Ⅱ）当01k，即1k时，函数)(xf在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为;)0(kf当21,110kk即时，由（Ⅰ）知()[0,1]fxk在上单调递减，在(1,1]k上单调递增，所以()fx在区间[0，1]上的最小值为1(1)kfke；当1,2ktk即时，函数()fx在[0，1]上单调递减，所以()fx在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).fke(2011全国大纲文)21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）已知函数32()3(36)124fxxaxaxaaR（I）证明：曲线()0yfxx在处的切线过点（2，2）；（II）若0()fxxx在处取得极小值，0(1,3)x，求a的取值范围。花山居室花山居室九弓塘数学会社yiyang20120830【解析】21．解：（I）2'()3636.fxxaxa…………2分由(0)124,'(0)36fafa得曲线()0yfxx在处的切线方程为由此知曲线()0yfxx在处的切线过点（2，2）…………6分（II）由2'()02120.fxxaxa