高考数学复习课件(理)：第80讲极坐标系及简单的极坐标方程

1新课标高中一轮总复习理数理数2淘课件网-免费提供课件、教案、试题、论文、计划、总结、说课、反思、手抄报、等资源.并且所有资料无须注册免费下载.淘课件网是您永远的学习伴侣!3如需更多高考数学资料请用上面的地址免费下载4•第十二单元•坐标系与方程5知识体系6考纲解读1.坐标系.(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化.7(4)能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当的坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.82.参数方程.(1)了解参数方程，了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.极坐标系及简单的极坐标方程9第80讲极坐标系及简单的极坐标方程10能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化，掌握直线与圆的极坐标方程.111.已知点M(ρ,θ)，则M点关于极点对称的点N的极坐标是()AA.(ρ,π+θ)B.(ρ,-θ)C.(ρ,π-θ)D.(ρ,2π-θ)2.已知点M的直角坐标为(2,-2)，则其极坐标是()BA.(2,)B.(2,-)C.(2,)D.(2,)123.在极坐标系中，过点M(2,)，且平行于极轴的直线的极坐标方程是.ρsinθ=2如图,设P(ρ,θ)为直线上任意一点，在Rt△OMP中，ρcos(-θ)=2,即ρsinθ=2.134.极坐标方程为ρ=2cosθ的圆的半径是.15.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是.ρ=cosθ是圆心为(,0)，半径为的圆;ρ=sinθ是圆心为（,）,半径为的圆，故两圆的圆心距为.141.坐标系的类型(1)直线上的点的坐标;(2)平面直角坐标系;(3)①系;(4)柱坐标系;(5)球坐标系.2.坐标之间互化(1)极坐标M(ρ,θ)化为平面直角坐标M(x,y):②.③.极坐标x=ρcosθy=ρsinθ15(2)空间点P的直角坐标（x,y,z）与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为：x=ρcosθy=ρsinθz=z.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系的一部分建立起来的.16(3)空间点P的直角坐标（x,y,z）与球坐标（r,φ,θ）之间的变换关系为x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ.173.直线与圆的极坐标方程曲线位置极坐标方程直角坐标方程直线过极点，并且与极轴所成的角为αθ=α④.不过极点,和极轴所成的角为α，到极点的距离为p⑤..xsinα-ycosα=py=xtanαρsin(α-θ)=p18直线平行于极轴，到极轴的距离为b⑥.y=b垂直于极轴，和极点的距离为aρcosθ=a⑦.过点(ρ1,θ1)，和极轴所成的角为α⑧..y-ρ1sinθ1=tanα(x-ρ1cosθ1)ρsinθ=bx=a19圆圆心在极点,半径为r⑨.x2+y2=r2圆心为(±r,0),半径为rρ=±2rcosθ⑩.圆心为（r,±),半径为r..x2+y2±2ry=0ρ=rx2±2rx+y2=011ρ=±2rsinθ20题型一点的极坐标表示例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲点P（-,）与曲线C:ρ=sin的关系是.因为点P(-,)与点P′(,)是同一点,且sin=sin=,所以点P′在曲线C:ρ=sin上，故点P(－,)在曲线C:ρ=sin上.点A(ρ，θ)（ρ0），则点A的极坐标的一般形式为A(ρ,θ+2kπ)或(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z).点评点评21变式变式变式点A（5，）在条件：(1)ρ0,θ∈(-2π,0)下的极坐标是;(2)ρ0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是.(1)当ρ＞0时，点A（5，)的极坐标的一般形式为(5,+2kπ)(k∈Z).由-2π＜θ＜0,得-2π＜+2kπ＜0(k∈Z),解得k=-1,所以θ=-2π=-,所以满足条件的点A的极坐标为(5,-).(5,-)(5,-)22（2）当ρ＜0时，点A（5，)的极坐标的一般形式是(-5，+(2k+1)π)(k∈Z).由2π＜θ＜4π,得2π＜+(2k+1)π＜4π,解得k=1,所以θ=+3π=,故满足条件的点A的极坐标为(-5,).23题型二直角坐标方程与极坐标方程的互化例2化下列直角坐标方程为极坐标方程：(1)x2+y2-2ax=0;(2)x+y=0;(3)x2-y2=2x.24(1)将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入，得ρ2-2ρacosθ=0,即ρ=2acosθ或ρ=0.而ρ=0恒表示极点，曲线ρ=2acosθ过极点,故所求极坐标方程为ρ=2acosθ.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得ρcosθ+ρsinθ=0,即ρ=0或tanθ=-1.由tanθ=-1,得θ＝.而ρ＝0表示极点,直线θ=(ρ∈R)过极点,故所求极坐标方程为θ=(ρ∈R).25(3)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入，得ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=2ρcosθ,即ρ=0或ρ=.而ρ=0表示极点,ρ=过极点，故所求极坐标方程为ρ=.26点评点评（1）注意极坐标与直角坐标的互化需满足三个条件：①原点与极点重合；②x轴正半轴与极轴重合；③长度单位相同.(2)注意极坐标与直角坐标互化中的等价性，特别是两边同乘以ρ时，要注意ρ=0是否是方程的解，若不是，要去掉该解.27变式变式变式(1)曲线的极坐标方程为ρ=cosθ-sinθ,则其直角坐标方程为.轨迹为;(2)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则极点到该直线的距离是.28(1)由ρ=cosθ-sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入得x2+y2-x+y=0.又极点在曲线ρ=cosθ-sinθ上，故所求为x2+y2-x+y=0，其轨迹为以(，-)为圆心,为半径的圆.29(2)(方法一)由ρsin(θ+)=，得ρsinθ+ρcosθ=1，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入得x+y-1=0.由点到直线的距离公式得=.（方法二）将方程化为ρ=.由于|sin(θ+|≤1，所以ρmin=，即极点到直线的距离为.30题型三求极坐标方程例3过极点O的直线和直线ρcosθ=4交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12,求点P的轨迹的方程，并说明轨迹是什么曲线.31设点M的极坐标为(ρ1,θ1),点P的坐标为(ρ,θ),ρ1ρ=12θ=θ1.又因为ρ1cosθ1=4,则ρ·cosθ=4,即ρ=3cosθ.故轨迹是以(1.5,0)为圆心，1.5为半径的圆.则32点评点评求动点的极坐标轨迹方程的步骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似，且关键是从几何的角度获得动点P(ρ,θ)的关系式.33变式变式变式已知在△ABC中，AB=6，AC=4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹.取A为极点，AB所在射线为极轴，建立极坐标系.因为AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，所以PB=PC,设P(ρ,θ)(ρ0，-θ且θ≠0)，34则PC2=AP2+AC2-2AP·ACcosθ=ρ2+16-8ρcosθ,PB2=AP2+AB2-2AP·ABcosθ=ρ2+36-12ρcosθ,所以ρ2+16-8ρcosθ=ρ2+36-12ρcosθ，即ρcos=5(ρ0，-θ且θ≠0).所以点P的轨迹是与AB垂直且与A的距离为5的一条直线（除去垂足）.35题型四极坐标及极坐标方程的应用例4已知A、B两点的极坐标分别为(-3,)、(5,-),求|AB|和△AOB的面积（其中点O为极点）.36在△AOB中，因为A、B两点的坐标分别为(-3，)、(5,-),则A、B两点的坐标可化为(3,)、(5,),因而OA、OB两边长分别为3、5，夹角∠AOB=-=,所以|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|·cos∠AOB=34+15,所以|AB|=,S△AOB=ρAρB·sin∠AOB=×3×5×sin=.37点评点评有关在极坐标系中求线段的长或平面图形面积等问题的求解，关键是应用点的极坐标的几何意义，同时应注意：若ρ0，则-ρ0，且点M(ρ,θ)与P(－ρ,θ)关于极点对称.38变式变式变式已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ≤)，则曲丝C1与C2的交点的极坐标为.ρcosθ=3ρ=4cosθρ=2θ=联立方程组(ρ≥0,0≤θ),解得,即两曲线的交点为(2，).(2，)39备选题备选题已知圆的极坐标方程为ρ2+2ρ(cosθ+sinθ)-5=0,求直线θ=截圆所得弦AB的长度.(方法一)圆的直角坐标为(x+1)2+(y+3)2=9,直线的直角坐标方程为y=-x,即x+y=0.40又圆心(-1,-)到直线x+y=0的距离为d==，则弦长为2=2.θ=ρ2+2ρ(cosθ+sinθ)-5=0,解得ρ2-2ρ-5=0，解得ρ1=1+,ρ2=1-,从而弦长为|ρ1-ρ2|＝2.(方法二)由41方法提炼方法提炼1.极坐标系和极坐标的理解.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ,θ),可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标，却不是惟一的.一般的，若(ρ,θ)是点M的极坐标，则(ρ,θ+2kπ)(k∈Z),(-ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z)也都是点M的极坐标.总之，点M(ρ,θ)的极坐标可以是(ρ,θ+2kπ)(k∈Z).42当规定ρ＞0,0≤θ＜2π以后，平面内的点（除极点外）与有序数对就可以一一对应了.2.极坐标与直角坐标的互化注意事项.(1)极坐标和直角坐标的互化公式是x=ρcosθρ2=x2+y2y=ρsinθtanθ=(x≠0).这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(ⅰ)原点与极点重合；(ⅱ)x轴正半轴与极轴重合；或43(ⅲ)长度单位相同.极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边同乘以ρn时，方程增了一个n重解ρ=0,要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解.(2)由极坐标方程给出的问题，若不好处理，就直角坐标化；由直角坐标方程给出的问题，若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化.44(3)慎用tanθ=，如点M的直角坐标为(-1,1),化为极坐标时，由tanθ=-1不能确定θ的取值，必须结合（-1,1)所表示的点所在象限的情况确定其极坐标为(2,).3.极坐标方程的应用及求法.(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程简单.(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题.45(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出两极坐标ρ、θ是求极坐标系曲线方程的法宝.4.常用结论.极坐标系内点的对称关系：(1)点P（ρ,θ)关于极点的对称点为P′(ρ,θ±π);(2)点P(ρ,θ)关于极轴所在直线的对称点为P′(ρ,-θ);46(3)点P(ρ,θ)关于直线θ=的对称点为P′(ρ,π-θ);(4)点P（ρ,θ)关于直线θ=的对称点为P′(ρ,-θ);(5)在极坐标下，A(ρ1,θ1)，B(ρ2,θ2)间的距离|AB|=.47走进高考走进高考学例1(2009·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1,M、N分别为