高考数学复习：题型解法训练之数列解答题的解法

专题五数列解答题的解法1.近三年高考各试卷数列考查情况统计2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答试题，处于压轴位置的有6道.由此知，数列解答题属于中档题或难题.当中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道.另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点.专题五数列解答题的解法试题特点2006年的18道数列解答试题中，与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点.2007年高考的各套试卷中都有数列题，有3套试卷是在压轴题的位置，有5套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，涉及到递推数列的有6道.专题五数列解答题的解法试题特点综上可知，数列解答试题是高考命题的一个必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题.当中，以函数迭代、解几何曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷点是数列的应用性解答题.专题五数列解答题的解法试题特点2.主要特点：数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强.数列解答题大多以数列、数学归纳法内容为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度.专题五数列解答题的解法试题特点1.考查数列、等差数列、等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知识、基本技能.2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养.3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.专题五数列解答题的解法试题特点应试策略1.熟练掌握并灵活运用数列的基本知识是解决数列问题的基础.(1)等差、等比数列的判定：①利用定义判定；②an+an+2=2an+1{an}是等差数列，anan+2=(an≠0){an}是等比数列；③an=an+b(a,b为常数){an}是等差数列；④Sn=an2+bn(a,b为常数，Sn是数列{an}的前n项和){an}是等差数列.专题五数列解答题的解法21na(2)等差、等比数列的性质的应用：注意下标、奇、偶项的特点等.(3)已知数列的前n项和求通项公式，这类问题常利用an=求解.(4)用递推公式给出的数列，常利用“归纳——猜想——证明”的方法求解.(5)数列求和的基本方法：①公式法(利用等差、等比数列前n项和公式或正整数的方幂和公式）；②错位相减法(等比数列求和推导的基本方法)；③倒序相加法；④裂(拆)项法等.)2()1(11nSSnSnn专题五数列解答题的解法应试策略2.注意函数思想与方程思想在数列中的运用.由于数列是一种特殊的函数，所以数列问题与函数、方程有着密切的联系，如等差数列的前n项和为n的二次函数，有关前n项和的最大、最小值问题可运用二次函数的性质来解决.等差(比)数列问题，通过涉及五个元素a,d(q)，an，n，Sn，利用方程思想，熟练运用通项公式与前n项和公式列出方程或方程组，并求出未知元素，是应当掌握的基本技能.专题五数列解答题的解法应试策略3.数列问题对能力要求较高，特别是运用能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出.在高考解答题中更是能力与思想的集中体现，尤其是近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们的足够重视.专题五数列解答题的解法应试策略考题剖析1.（2007·湖南省示范性高中模拟题）已知数列{an}的前n项和Sn=n(2n－1),(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式,并证明该数列为等差数列；(2)设数列bn=S1+++…+(n∈N*),试判定：是否存在自然数n,使得bn=900，若存在,求出n的值；若不存在，说明理由.22S33SnSn专题五数列解答题的解法［解析］(1)当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n(2n－1)－(n－1)(2n－3)=4n－3，当n=1时,a1=S1=1,适合,∴an=4n－3，而an－an－1=4(n≥2)，所以{an}为等差数列.考题剖析专题五数列解答题的解法(2)∵=2n－1,nSn22S33SnSn∴bn=S1+++…+=1+3+5+7+…+(2n－1)=n2,由n2=900,得n=30,即存在满足条件的自然数为30.nSn考题剖析专题五数列解答题的解法［点评］由于题目给出是的Sn与n的关系，故在求通项时要注意n≥2与n=1的情况，第2问涉及到的是等差数列的一个性质，如果Sn是等差数列{an}的前n项和，则{}也是等差数列.2.（2007·江苏九大名校模拟题）设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(取lg2=0.3,lg3=0.4)［分析］突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值.考题剖析专题五数列解答题的解法［解析］解法1：设公比为q,项数为2m,m∈N*,依题意有化简得)(9))((,1)1(41)1(323122121111qaqaqaqaqqqaqqamm),1(911421qqaqq108311aq考题剖析专题五数列解答题的解法解得设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lg(a1q2)+…+lg(a1qn－1)=lg(a1n·q1+2+…+(n－1))=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+3lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大.212123lg3lg3lg272lg2考题剖析专题五数列解答题的解法27而==5,故{lgan}的前5项和最大.3lg3lg272lg24.024.073.04考题剖析专题五数列解答题的解法解法2：接前，a1=108,q=,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg,∴数列{lgan}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0，∴n≤==5.5.由于n∈N*,可见数列{lgan}的前5项和最大.3131313lg3lg42lg2［点评］本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.考题剖析专题五数列解答题的解法314.04.043.023.(2006·开封市高三质量检测)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n=1,2,3,…),它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知等比数列{bn}满足b1+b2=1+a,b4+b5=a3+a4(a≠－1).设数列{an·bn}的前n项和为Tn,求Tn.考题剖析专题五数列解答题的解法［解析］(1)由2an+1=an+an+2an+2－an+1=an+1－an,则{an}为等差数列，,36156,5211dada.2,11da∴an=2n－1.∴考题剖析专题五数列解答题的解法(2)设{bn}的公比为q,∵q3=2154bbbb=aaa143=a3,∴q=a.由b1+b2=1+a,得b1(1+a)=1+a,∵a≠－1，∴b1=1.则bn=b1qn－1=an－1,anbn=(2n－1)an－1,Tn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n－1)an－1,①当a≠1时，aTn=a+3a2+5a3+…+(2n－1)an,②由①－②得考题剖析专题五数列解答题的解法(1－a)Tn=1+2a+2a2+…+2an－1－(2n－1)an=－1－(2n－1)an.∴Tn=－.当a=1时，Tn=n2.aan1)1(22)1()1(2aanaann1)12(1［点评］本题考查等差、等比数列的基础知识，考查利用错位相减求数列前n项和的方法，注意公比等于1的情况，考查推理及运算能力.考题剖析专题五数列解答题的解法4.(2007·南京模拟题）已知等差数列{an}满足a3+a6=－,a1a8=－且a1＞a8.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）把数列{an}的第1项、第4项、第7项、……、第3n－2项、……分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、……、第n项、……，求数列{}的所有项之和；（Ⅲ）设数列{Cn}的通项为Cn=n·，试比较(n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+2与2n(n+2)Cn+1的大小.3134考题剖析专题五数列解答题的解法nb2nb2［解析］（Ⅰ）{an}为等差数列，a3+a6=a1+a8=－，又a1·a8=－且a1＞a8求得a1=1，a8=－，公差d==－∴an=1－(n－1)=－n+，n∈N*313434718aa31313134考题剖析专题五数列解答题的解法（Ⅱ）b1=a1=1，b2=a4=0∴bn=a3n－2=－(3n－2)+=－n+2∴==∴{}是首项为2，公比为的等比数列∴{}的所有项的和为=4313422)1(22nn2112考题剖析专题五数列解答题的解法nnbb2212121nb2nb2（Ⅲ）Cn=n·∴(n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+2－2n(n+2)Cn+1=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n+2)·－2n(n+1)(n+2)·=n(n+1)(n+2)()=n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)·(1+2－2－2×2－1)=n(n+1)(n+2)(1+－1)＞0其中bn+2－bn=－(n+2)+2－(－n+2)=－2，bn+1－bn=－(n+1)+2－(－n+2)=－1∴(n+1)(n+2)Cn+n(n+1)Cn+2＞2n(n+2)Cn+141考题剖析专题五数列解答题的解法nb2nb212nb22nb122222nnnbbbnb2nb2)2221(212nnnnnbbbbb5.(2006·郑州市质量预测题)(1)已知函数f(x)=－3x2+6x－2,Sn是数列{an}的前n项和，点(n,Sn)(n∈N*)在曲线y=f(x)+2上,求an;(2)在(1)的条件下，若bn=()n－1,cn=，且Tn是数列{cn}的前n和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值;若不存在，请说明理由.216·nnba考题剖析专题五数列解答题的解法［解析］(1)点(n,Sn)在曲线y=f(x)+2上，∴Sn=－3n2+6n.当n=1时，a1=S1=3.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=9－6n,∴an=9－6n.考题剖析专题五数列解答题的解法(2)∵bn=()n-1,cn=anbn=(3－2n)()n,∴Tn=c1+c2+…+cn=－()2－…－(3－2n)()n,利用错位相减法，得Tn=(2n+1)()n－1.考题剖析专题五数列解答题的解法61212121212121Tn+1=(2n+1)（）n＞0,Tn+1+1=(2n+3)（）n+1＞0,∴=＞1，∴Tn+1+1＜Tn+1,∴Tn+1＜Tn＜…＜T1=.存在最大值T1=.21212121111nnTT［点评］本题综合考查了函数与数列的基本知识，考查了等差数列，等比数列的基本知识及错位相减求和法.考题剖析专题五数