专题三-动力学中常见的“三个物理模型”

模型一“等时圆”模型模型特点1．物体沿着位于同一竖直圆上的所有过圆周最低点的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且t＝2Rg(如图甲所示)．2．物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2Rg(如图乙所示)．技巧点拨1.如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为()A．α＝θB．α＝θ2C．α＝θ3D．α＝2θ[解析]如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于B点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到B所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．而∠COB＝θ，则α＝θ2.[答案]B[题组训练]1.如图所示，几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度，从P点以大小不同的初速度沿各轨道发射小球，若各小球恰好在相同的时间内到达各自的最高点，则各小球最高点的位置()A．在同一水平线上B．在同一竖直线上C．在同一抛物线上D．在同一圆周上解析：设某一直轨道与水平面成θ角，末速度为零的匀减速直线运动可逆向看成初速度为零的匀加速直线运动，则小球在直轨道上运动的加速度a＝mgsinθm＝gsinθ，由位移公式得l＝12at2＝12gsinθ·t2，则lsinθ＝12gt2，不同的倾角θ对应不同的位移l，但lsinθ相同，即各小球最高点的位置在直径为12gt2的圆周上，选项D正确．答案：D2．(2017·东北模拟)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y、x轨的切点．B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心．现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，如所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是()A．tAtCtBB．tA＝tCtBC．tA＝tC＝tBD．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系答案：B模型二传送带模型中的动力学问题1.水平传送带模型2．倾斜传送带模型2.水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，如图所示为一水平传送带装置示意图．紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v＝1m/s运行，一质量为m＝4kg的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动．设行李与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.1，A、B间的距离L＝2m，g取10m/s2.(1)求行李刚开始时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小；(2)求行李做匀加速直线运动的时间；(3)如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率．[解析](1)行李所受滑动摩擦力大小Ff＝μmg＝0.1×4×10N＝4N，加速度大小a＝μg＝0.1×10m/s2＝1m/s2.(2)行李达到与传送带相同速率后不再加速，则v＝at1，解得t1＝va＝1s.(3)行李始终匀加速运行时，所需时间最短，加速度大小仍为a＝1m/s2，当行李到达右端时，有v2min＝2aL，得vmin＝2aL＝2×1×2m/s＝2m/s，所以传送带对应的最小运行速率为2m/s.由vmin＝atmin得行李最短运行时间tmin＝vmina＝21s＝2s.[答案](1)4N1m/s2(2)1s(3)2s2m/s[题组训练]1．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝4m，以v0＝4m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转，今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A端，由于煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕．已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取重力加速度大小g＝10m/s2，则煤块从A运动到B的过程中()A．煤块从A运动到B的时间是2.25sB．煤块从A运动到B的时间是1.5sC．划痕长度是0.5mD．划痕长度是2m解析：根据牛顿第二定律，煤块的加速度a＝μmgm＝4m/s2，煤块运动到速度与传送带速度相等时的时间t1＝v0a＝1s，位移大小x1＝12at21＝2mx，此后煤块与传送带以相同的速度匀速运动直至B端，所以划痕长度即为煤块相对于传送带的位移大小，即Δx＝v0t1－x1＝2m，选项D正确，C错误；x2＝x－x1＝2m，匀速运动的时间t2＝x2v0＝0.5s，运动的总时间t＝t1＋t2＝1.5s，选项B正确，A错误．答案：BD2．如图所示，传送带与地面倾角θ＝37°，从A到B长度为L＝10.25m，传送带以v0＝10m/s的速率逆时针转动，在传送带上端A无初速地放一个质量为m＝0.5kg的黑色煤块，它与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.5，煤块在传送带上经过会留下黑色划痕．已知sin37°＝0.6，g＝10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(1)求煤块从A到B的时间；(2)煤块从A到B的过程中传送带上形成划痕的长度．解析：(1)煤块刚放上时，受到向下的摩擦力a1＝g(sinθ＋μcosθ)＝10m/s2,t1＝v0/a1,x1＝a1t21/2达到v0后，受到向上的摩擦力a2＝g(sinθ－μcosθ)＝2m/s2x2＝L－x1＝5.25mx2＝v0t2＋at22/2t2＝0.5s煤块从A到B的时间为t＝t1＋t2＝1.5s(2)第一过程划痕长Δx1＝v0t1－a1t21/2＝5m第二过程划痕长Δx2＝x2－v0t2＝0.25mΔx1与Δx2部分划痕重合，总长5m答案：(1)t＝1.5s(2)总长5m方法技巧传送带模型中动力学问题的求解思路模型三滑块——木板模型1.模型构建上、下叠放两个物体，并且两物体在摩擦力的相互作用下发生相对滑动．如下图所示：2．两种位移关系滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和滑板同向运动，位移大小之差等于板长；反向运动时，位移大小之和等于板长．设板长为L，滑块位移大小为x1，滑板位移大小为x2同向运动时：L＝x1－x2反向运动时：L＝x1＋x23.(2015·新课标Ⅰ卷)一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m，如图(a)所示．t＝0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t＝1s时木板与墙壁碰撞(碰撞时间极短)．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板．已知碰撞后1s时间内小物块的v－t图线如图(b)所示．木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10m/s2.求(1)木板与地面间的动摩擦因数μ1及小物块与木板间的动摩擦因数μ2；(2)木板的最小长度．[解析](1)规定向右为正方向．木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，设加速度为a1，小物块和木板的质量分别为m和M.由牛顿第二定律有－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a1①由图(b)可知，木板与墙壁碰前瞬间的速度v1＝4m/s，由运动学公式得v1＝v0＋a1t1②s0＝v0t1＋12a1t21③式中，t1＝1s，s0＝4.5m是木板与墙壁碰前时间的位移，v0是小物块和木板开始运动时的速度．联立①②③式并结合题给条件得μ1＝0.1④在木板与墙壁碰撞后，木板以－v1的初速度向左做匀变速运动，小物块以v1的初速度向右做匀变速运动．设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有－μ2mg＝ma2⑤由图(b)可得a2＝v2－v1t2－t1⑥式中，t2＝2s，v2＝0，联立⑤⑥式并结合题给条件得μ2＝0.4⑦(2)设碰撞后木板的加速度为a3，经过时间Δt，木板和小物块刚好具有共同速度v3.由牛顿第二定律及运动学公式得μ2mg＋μ1(M＋m)g＝Ma3⑧v3＝－v1＋a3Δt⑨v3＝v1＋a2Δt⑩碰撞后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，木板的位移为x1＝－v1＋v32Δt⑪小物块的位移为x2＝v1＋v32Δt⑫小物块相对木板的位移为Δx＝x2－x1⑬联立⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬式，并代入数据得Δs＝6.0m⑭因为运动过程中小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6.0m.[答案](1)0.10.4(2)6.0m[题组训练]1．如图所示，在光滑水平面上，一个小物块放在静止的小车上，物块和小车间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10m/s2.现用水平恒力F拉动小车，关于物块的加速度am和小车的加速度aM的大小，下列选项可能正确的是()A．am＝2m/s2，aM＝1m/s2B．am＝1m/s2，aM＝2m/s2C．am＝2m/s2，aM＝4m/s2D．am＝3m/s2，aM＝5m/s2解析：若物块与小车保持相对静止一起运动，设加速度为a，对系统受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝(M＋m)a，隔离小物块受力分析，二者间的摩擦力Ff为静摩擦力，且Ff≤μmg，由牛顿第二定律可得：Ff＝ma，联立可得：am＝aM＝a≤μg＝2m/s2.若物块与小车间发生了相对运动，二者间的摩擦力Ff为滑动摩擦力，且amaM，隔离小物块受力分析，如图所示，由牛顿第二定律可得：Ff＝μmg＝mam，可得：am＝2m/s2，选项C正确，选项A、B、D错误．答案：C2．如图所示，一质量为mB＝2kg，长为L＝6m的薄木板B放在水平面上，质量为mA＝2kg的物块A(可视为质点)在一电动机拉动下从木板左端以v0＝5m/s的速度向右匀速运动．在物体带动下，木板以a＝2m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，此时牵引物体的轻绳的拉力F＝8N．已知各接触面间的动摩擦因数恒定，重力加速度g取10m/s2，求：(1)经多长时间物体A滑离木板？(2)木板与水平面间的动摩擦因数为多少？(3)物块A滑离木板后立即取走物体A，木板能继续滑行的距离为多少？解析：(1)设经t0时间物体A滑离木板，则对A：xA＝v0t0,对木板B：xB＝12at20,xA－xB＝L代入数据解得t0＝2s(另解舍去)(2)A在B上滑动时，A匀速运动，则FfAB＝F＝8N设地面对B的滑动摩擦力FfB1，则由牛顿第二定律得FfAB－FfB1＝mBa又FfB1＝μFN,FN＝(mA＋mB)g,解得μ＝0.1(3)物体A滑离时B板的速度vB＝at0＝4m/sB板向前减速滑行过程中，由牛顿第二定律得μmBg＝mBaB解得aB＝μg＝1m/s2,木板继续滑行的位移xB＝v2B2aB＝8m答案：(1)2s(2)0.1(3)8m方法技巧滑块——木板类模型的思维模板备考跟踪演练1.如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为圆周的最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环A、B、C分别从a、b、c处由静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环A、B、C到达d点所用的时间，则()A．t1t2t3B．t1t2t3C．t3t1t2D．t1＝t2＝t3解析：如图所示，滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力N作用．设杆与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgsinθ＝ma，得加速度大小a＝gsinθ.设圆周的直径为D，则滑环沿杆滑到d点的位移大小x＝Dsinθ，x＝12at2，解得t＝2Dg，可见，滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关，即三个滑环滑行到d点所用的时间相等，选项D正确．答案：D2．(多选)如图甲所示，倾角为θ的足够长的传送带以恒定的速率v0沿逆时针方向运行．t＝0时，将质量m＝1kg的物体(可视为质点)轻放在传送带上，物体相对地面的v－t图象如图乙所示．设沿传送带向下为正方向，取重力加速度g＝10m/s2.则()A．传送带的速率v0＝10m/sB．传送带的倾角θ＝30°C．物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5D．0～2.0s摩擦力对物体做功Wf＝－24J解析：当物体的速度超过传送带的速度后，物体受到的摩擦力的方向发生改变，加速度也发生改变