人教A版_必修二_第四章_4.2_4.2.3_直线与圆的方程的应用_配套课件

4．2.3直线与圆的方程的应用1．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为()CA．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：半径相等，找圆心的对称点即可．2．一个以原点为圆心的圆与圆x2＋y2＋8x－4y＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________.解析：直线l是原点和(－4,2)连线的垂直平分线．3．已知A点是圆x2＋y2－2ax＋4y－6＝0上任一点，A点关于直线x＋2y＋1＝0的对称点也在圆上，那么实数a等于__.解析：直线x＋2y＋1＝0过圆心．4．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_____________________．2x－y＋5＝03(－∞，0)∪(10，＋∞)重点圆的切线与弦长1．切线：(1)过圆x2＋y2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋yy0＝R2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程是：(x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝R2，一般地，求圆的切线方程应抓住圆心到直线的距离等于半径；(2)从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；(3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．2．弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长的一半12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.弦长问题例1：根据下列条件求圆的方程：与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为.思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.27关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公式求解．解得b＝±1.故所求圆方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.则由垂径定理有|3b－b|22＋(7)2＝9b2，解：∵圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.又∵直线y＝x截圆得弦长为27，长为8,求此弦所在直线方程．1－1.一直线经过点P－3，－32被圆x2＋y2＝25截得的弦解：当斜率k存在时，设所求方程为y＋32＝kx＋3，即kx－y＋3k－32＝0.由已知，弦心距OM＝52－42＝3，即3x＋4y＋15＝0.当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．∴所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.∴k·0－0＋3k－32k2＋1＝3，解得k＝－34.∴此直线方程为y＋32＝－34x＋3，切线问题例2：如图1，自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l与m所在直线的方程．图1解：圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，圆C关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.设光线l所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)．依题意，它是圆C′的切线，从而点C′到直线l的距离为(x＋3)，即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.1，即|5k＋5|1＋k2＝1，解得k＝－34或k＝－43.∴光线l所在直线的方程为y－3＝－34(x＋3)或y－3＝－43同理可求得过点A′(－3，－3)的圆C的切线方程3x－4y－3＝0或4x－3y＋3＝0，即为所求光线m所在直线的方程．解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两条，若k只有一解，应考虑k不存在的情况．163解析：设过点(7,5)且与圆相切的直线方程为y－5＝k(x－7)，即kx－y＋5－7k＝0，由圆心到切线的距离得－1＋5－7kk2＋1＝1，得k＝34或k＝512，∴两条切线方程分别为34x－y＋5－214＝0，512x－y＋5－3512＝0.令y＝0，解得x1＝13，x2＝－5，投影长为x1－x2＝163.2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆x2＋(y－1)2＝1投射到x轴所得的影长为______.最值问题例3：已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．(1)yx的最大值和最小值；思维突破：方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，－x可看作直线y＝x＋b在y轴上的截距，x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解．以3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y3解：(1)如图2.方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆．图2设yx＝k，即y＝kx，圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，这时斜率取得最大、最小值．直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)于第四象限时，纵轴截距b取最小值．由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3.∴kmax＝3，kmin＝－3.(也可利用平面几何知识：OC＝2，OP＝3，∠POC＝60°，(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆切由点到直线的距离公式，得|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6，故(y－x)min＝－2－6.(3)x2＋y2是圆上点与原点距离的平方，为此，连接OC，与圆交于B点，并延长OC交圆于C′.则(x2＋y2)max＝OC′2＝2＋32＝7＋43，(x2＋y2)min＝OB2＝2－32＝7－43.涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化圆心已定的动圆半径的最值问题．(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的解：方程x2＋y2＋4x＋3＝0可化为(x＋2)2＋y2＝1，其表示以C(－2,0)为圆心，1为半径的圆．设y－2x－1＝k，其几何意义为：圆C上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．将y－2x－1＝k变形为PQ：kx－y－k＋2＝0，3－1.已知实数x、y满足x2＋y2＋4x＋3＝0，求y－2x－1的值域．则圆心到直线PQ的距离d＝|－2k－k＋2|k2＋1≤1，解得3－34≤k≤3＋34.∴y－2x－1的值域为3－34，3＋34.有考虑变量的取值范围．错因剖析：忽略了曲线C：y＝1－x2表示一个半圆，而没半圆有两个交点，b为直线在y轴上的截距，图3正解：如图3，曲线C：y＝1－x2表示一个半圆，直线与显然1≤b＜2.共点，求b的取值范围．例4：已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公4－1.(2010年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是_________．(－13,13)小于1，|c|131，c的取值范围是(－13,13)．解析：圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离