高等几何复习分解

[课外训练方案]部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为l，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线10x与直线340xy上无穷远点的齐次坐标解：（1）直线10x即1x它与y轴平行所以位y轴上的无穷远点(0,1,0)(2)由直线340xy得1433yx故无穷远点为1(1,,0)3或（3，1，0）2、求证：两直线1230xxx和123220xxx的交点C与两点(3,1,2),(2,5,5)AB三点共线证明：解方程组：1231230220xxxxxx的交点(1,4,3)C因为行列式1433120255所以三点共线3、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：23123,,),(,,)uuauuulalalalal1设a=(u与是共轭复点，两点连线为由定理在上，在上，又在上，所以a的共轭也在直线上而两点确定一条直线所以，3121112212321111133233()()uuuuuulluuuuuuuuuuuuuuuu与重合，故即与都为实数所以123::uuu与一组实数成比例，即直线为实直线。4、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。证明：如图三点形ABC与111ABC的三对应边交点,,LMN共线，证明对应顶点连线共点，考虑三点形1BLB与1CMC则有对应顶点连线共点N，故对应边的交点1,,AAO共线自测题1、证明：中心投影一般不保留共线三点的单比．2、设一平面内有几条直线12,,,nlll用121,,,nTTT分别表示1l与2l，2l与31,,nll与nlOABCLMNB1A1C1间的中心投影．这一串中心投影的复合1221nnTTTTT把1l上的点对应到nl上的点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点．3、设有两个相交平面1和2，如果以S为中心做1到2的投影（S不在1和2上），把1上一已知直线1l投影到2上直线2l．证明：当S变动时，已知直线1l的象2l总要通过一个定点，或与定直线平行．4、设12:是平面1与2之间的中心投影．试讨论1上两条平行直线的象在2中还是否平行，不平行有什么性质？同样在2上两条平行直线在1中的原象是否为平行线？5、试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．第三章、射影变换与射影坐标一、基本内容：交比与调和比；一维射影变换；一维射影坐标；二维射影变换于二维射影坐标二、主要公式1、共线四点的交比：123132412341232314()(,)()pppppppppppppppppp2、共点四线的交比：()sin,sin,(,)()sin,sin,abcacbdabcdabdbcad3、两直线之间的射影变换：非齐次坐标形式：1112'111221222122,0aaaxaxaaaxa齐次坐标形式：'11121111122'21222211222,0aaxaxaxaaxaxax参数形式：''0,0abcdadbc4、二维射影变换：'1111122133111213'2211222233212223'3311322333313233,0xaxaxaxaaaxaxaxaxAaaaxaxaxaxaaa'11'22'33,det0xxxAxAxx三、典型例题：1、证明：1122(,)(,)ABCDABCD的充要条件是：1212(,)(,)AACDBBCD证明：设11221122,,,ACkDACkDBCnDBCnD则12112212(,),(,)kkABCDABCDnn若1122(,)(,)ABCDABCD则12111222kkknnnkn或而11121222(,),(,)knAACDBBCDkn所以有1212(,)(,)AACDBBCD2、已知共点直线,,abd的方程为：:210,:320,:510axybxydx且1(,)2abcd求直线c的方程解：先化为齐次线坐标[2,1,1],[3,1,2],[5,0,1]abd则有dab即1k令cand则1(,)2nabcdk所以12n171[,,0]222cab所以方程为70xy3、设一直线上的点的射影变换是/324xxx证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。解：令''232204xxxxxxx由得解得121,2xx即有两个自对应点设k与'324kkk对应，有'5((1)2,)2kk为常数注：结果有25也对，不过顺序有别4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束证明：ACDP如图：ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为ADAB所以PA为角DPB的平分线。同理可证明PC是角EPB平分线。即,PAPC是角DPB的内外角平分线。所以直线,,,PDPAPBPC构成调和线束。5、试证:双曲型对合的任何一对对应元素'PP,与其两个二重元素,EF调和共轭即(',PPEF)=-1证明：,EF为自对应元素，P与1P对应则有11(,)(,)PPEFPPEF而111(,)(,)PPEFPPEF所以111(,)(,)PPEFPPEF得21(,)1PPEF因为1,PP不重合故1(,)1PPEF6、求射影变换'112'22'33xxxxxxx的不变点坐标解:由特征方程：311001001-01001得（）即将12230010000xxxx代入方程组得20x,故20x上的点都是不变点20x是不变点列。自测题1、设124(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1)PPP为共线三点，且1234(,)2PPPP求3P的坐标。2、已知线束中三直线,,abc求作直线d使1(,)2abcd3、射影变换使直线上以0，1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1，0，1求变换式，并判断变换的类型。4、求两直线2220axhxyby所构成角的平分线方程5、试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。6、求射影变换'1123'2123'312322xxxxxxxxxxxx的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。第四章变换群与几何学疑难解析1．变换群（1）基本定义射影变换群：射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群P，它是一个八维群；仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群A，它是一个六维群；相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群S，它是一个四维群；正交变换群：欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群M，它是一个三维群。四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：PASM.（2）一一变换的集合G构成群的充要条件是：①若12,G，则12G（封闭性）；②若G，则1G（存在逆元）.2．克莱因关于几何学的变换群观点正交变换群→欧氏几何；仿射变换群→仿射几何；射影变换群→射影几何；就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：PAM；从几何学研究的内容来看，它们的关系是：欧氏几何仿射几何射影几何.名称射影几何仿射几何相似几何欧氏几何变换群射影群仿射群相似群正交群研究对象射影性质射影不变量纯仿射性质纯仿射不变量射影性质射影不变量纯相似性质纯相似不变量纯仿射性质纯仿射不变量射影性质射影不变量纯度量性质纯度量不变量纯相似性质纯相似不变量纯仿射性质纯仿射不变量射影性质射影不变量主要不变性质结合性分割性结合性平行性结合性平行性保角性结合性平行性合同性基本不变量交比单比相似比距离例题选解例1证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群.证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：cossinsincosxxyyxy容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实就是旋转的变换），所以这种变换的集合构成群.例2下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏几何学？（最大的）（1）梯形；（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理；（5）重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分；（8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点；（9）含于半圆内的圆周角是直角；（10）如果直线AB与CD相交，则AC与BD相交；（11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理.分析：判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了.解：（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；（8）、（10）、（12）属于射影几何学.例3为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？解：因为二向量,uv的数量积为：cos,uvuvuv而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存在。第五章二次曲线的射影理论本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。在射影平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。然后基于射影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两个著名的定理――巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。在此基础上，定义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。根据对偶原理，在射影平面内可将二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。也可以将曲线看作直线的包络，也就是看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。因此，对于二阶曲线的每一性质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。这一点在学习的过程中要加以注意。本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的，因此研究仿射性质要把握住无穷远元素