GARCH模型

ARCH与GARCH模型ARCH模型ARCH过程ARCH模型（autoregessiveconditonallyheteroscedastic，ARCH），即自回归条件异方差模型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。1982年，R.Engle在研究英国通货膨胀率序列规律时提出ARCH模型，ARCH模型的核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。1986年，Bollerslev在Engle的ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。后来，该类模型也得到了很大的发展，形成了如EGARCH,IGARCH,GARCH-M等模型。ARCH模型一、金融时间序列的异方差性特征现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性。金融市场中，波动率（volatility）是金融时间序列最重要的特征之一，因而模拟和预测股票市场的波动性已经成为众多理论和实证研究的重要领域。然而，金融市场时间序列存在非平稳性，样本均值并不恒定，有明显的异方差性特征。因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融数据的重要特征。这些特征包括：尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益峰度系数大于3，为厚尾分布。尖峰是数据过分的集中在中位数附近。波动丛聚性（clustering）：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。既大的波动后必伴随小的波动。杠杆效应（leverageeffects）：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向ARCH模型二、ARCH过程Engle(1982)提出的ARCH模型，正是在不使用特定变量或数据转换的情况下，同时对序列的均值和方差进行建模。要理解Engle的方法，首先我们要估计平稳ARCH模型并预测，则的条件均值为，若我们用这个条件均值去预测，则预测误差方差为。若用表示模型的残差估计值，那么的条件方差为：现在假设条件方差不定，一个简单的处理方法就是用残差估计值的平方将条件方差建模为AR(q)过程为：类似于上式的式被称为自回归条件异常差（ARCH）模型。tx011tttyaay1ty1ty101tttEyaay1ty2221011[()]tttttEyaayEˆt011tttyaay1ty2211011var()[()]()tttttttyyEyaayE2ˆt2011ˆtaa222ˆta2ˆqtqtavARCH模型Engle提出的乘法条件异方差模型中最简单的一例为ARCH(1)模型，即：更一般地，Engle提出的ARCH模型的高阶ARCH（q）过程为：可见，Engle(1982)提出ARCH模型的核心思想是：残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。2011tttvaa201qttitiivaat1tGRACH模型三、GRACH模型Bollerslev广义自回归条件异方差(GeneralizedARCH,GARCH)模型。GARCH类模型最早是Engle提出的ARCH模型，即自回归条件异方差模型。设标的资产时间序列为,Engle年建立了回归模型ARCH(q)，其中，是因变量，是解释变量的向量，是未知参数的向量,假设的在给定时间内的信息满足正态分布，，但其条件方差为：}{tytttyxytxtt)1(t1ttttNh|~(,)102101var()qtttitiihaGRACH模型Bollerslev(1986)扩展了Engle（1982）的原始模型，引入了一种允许条件方差转化为一个ARMA过程的方法。在GARCH模型中，要考虑两个不同的假设：一个是条件均值；一个是条件方差。标准的GARCH(1,1)模型为：（6.13）（6.14）其中，方程（6.13）是均值方程，它是一个带有残差项的外生变量的函数；方程（6.14）是条件方差方程，它是根据前期信息为基础向前预测方差，因此又称条件方差。同时，、和是待估参数tttyx210111var()ttttthahth01thGRACH模型进一步扩展，可以得到高阶GARCH（p,q）模型。高阶GARCH模型可以包含多个ARCH项和GARCH项，它的条件方差表示为：其中，参数q是ARCH项的阶数，p是自回归GARCH项的阶数，，。21011var()qptttitijtjijhah00a0ia0jGRACH类模型的扩展自从GARCH模型提出以来，就出现了非常多的模型加以扩展和变化。这些扩展模型大多数是对GARCH有关条件的改变，从而产生了不同的条件异方差的表达方式，因而产生了不同的GARCH类扩展模型。GRACH类模型的扩展一、非对称GARCH模型GARCH模型的一个主要约束是它们对正的或负的冲击做出对称反应。然而，对于金融时间序列而言，负的冲击往往比相同程度的正的冲击引起更大的波动。这种非对称性，是受到杠杆效应（leverageeffects）的影响。因为较低的股价减少了股东权益，从而引起公司债务对股权比率的上升，这会导致承受公司剩余风险的公司股东觉察到它们未来的现金流具有更大的风险。为解释这一现象，Engle和Ng(1993)绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，认为资本市场的冲击是一种非对称性冲击GRACH类模型的扩展作为GARCH模型的简单扩展，TGARCH模型加入了解释可能的非对称性的附加项。TGARCH的方差方程为：其中，表示绝对残差变化方向的哑变量，当时，；否则，。在模型中，好消息和坏消息对条件方差有不同的影响：好消息有一个的冲击；坏消息有一个+的冲击。如果，我们说存在杠杆效应；如果，则信息是非对称的。22111qptitijtjttijhhDtD10t1tD0tD10t10tii00GRACH类模型的扩展2、Nelson的EGARCH模型指数EGARCH（ExpoentialGARCH），其条件方差为：这里，若，则说明存在杠杆效应。只要，冲击的影响就是非对称的。更高阶的EGARCH表达为：111112lnlntttttthhahh00111lnln()qqrtititktitiikiiktititihhaEhhhGARCH类模型的检验与估计使用Eviews软件进行GARCH估计为估计GARCH类模型，为此应用极大似然法（maximumlikelihood）的技术方法。极大似然估计法是一种估计回归参数的常用方法，它既可以用来估计线性模型，又可以用来估计非线性模型。从本质上而言，这种方法是通过在给定的实际数据中寻找最有可能的参数值进行的，更确切地说，要形成一个对数似然方程和寻找最大化的参数值，对线性和非线性模型运用极大似然估计来寻找参数。GARCH类模型的检验与估计GARCH类模型的检验与估计一、ARCH效应检验检验一个模型是否存在一个ARCH效应，通常有两种方法：ARCHLM检验和残差平方相关图检验。1、ARCH_LM检验1982年，Engle提出检验残差序列是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM检验。GARCH类模型的检验与估计ARCHLM检验统计量是一个辅助检验统计量，即ARCH效应是通过一个辅助的回归检验计算出来的。为检验原假设：残差序列中直到q阶不存在ARCH效应，即==┅==0。为此，我们需要进行如下检验：从检验结果，我们会得到两个统计量：（1）F统计量：对所有残差滞后的联合检验，用于检验所有滞后残差平方项都联合显著；（2）T×R2统计量：观测样本个数T乘以回归检验的拟合优度R2。0H12q2201qtststsGARCH类模型的检验与估计2、残差平方相关图残差平方相关图显示残差平方序列任意指定滞后阶数的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，并且计算相应滞后阶数的Ljung-BoxQ统计量。残差平方相关图可用于检验残差序列中是否存在效应。如果残差序列不存在ＡＲＣＨ效应，自相关和偏自相关系数在所有的滞后阶数都为０，并且Ｑ统计量也不显著；否则，就说明序列中存在ＡＲＣＨ效应。