含参变量积分

目录摘要..................................................................1前言..................................................................2一、预备知识..........................................................2（一）、含参变量积分的定义..........................................2（二）、含参变量反常积分的定义......................................2（三）、定理.......................................................31、含参变量积分的相关定理......................................32、含参变量反常积分的相关定理..................................4二、含参变量积分的应用................................................5（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式........................51、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式..............52、用含参变量积分解决二重、三重积分的模式.....................6（二）、证明等式...................................................7（三）、证明不等式.................................................9（四）、求极限....................................................10（五）、求隐函数的导数.............................................12三、含参量反常积分的性质.............................................13（一）、含参量反常积分的局部一致收敛与连续性.......................131、局部一致收敛概念...........................................132、连续的等价条件.............................................133、几种收敛性的关系...........................................15（二）、含参量反常积分局部一致收敛的判别法.........................171、主要结果...................................................172、主要引理...................................................18（三）、计算含参量反常积分的一些特殊方法...........................211、利用反常积分的定义和变量替换求解...........................212、通过建立微分方程求积分值...................................213、引入收敛因子法求解.........................................224、级数解法...................................................235、利用其他的积分.............................................24总结.................................................................25参考文献.............................................................251含参变量积分赵洁（渤海大学数学系辽宁锦州121000中国）摘要：本文主要研究含参变量积分的两种类型：含参变量（正常）积分和含参变量反常积分。首先，给出了它们的定义和相关定理;然后，介绍了含参变量（正常）积分在证明等式、不等式和求极限等方面的应用；最后，给出了含参变量反常积分的性质和计算的一些特殊方法。关键词：含参变量积分；二重积分；定积分；广义积分；局部一致收敛；一致收敛；含参量反常积分ParameterIntegralZhaoJie(DepartmentofMathematicsBohaiUniversityLiaoningJinzhou121000China)Abstract：Inthispaper,twokindsofparameterintegralarestudied:parameter(normal)integralandparameterimproperintegral.Firstlytheirdefinitionsandrelatedtheoremsaregiven;Secondlytheapplicationsofparameter(normal)integralinprovingequality,provinginequalityandsolvinglimitareintroduced;Finallythequalitiesandsomespecialsolvingmethodsofparameterimproperintegralaregiven.Keywords：parameterintegral;doubleintegral;definiteintegral;improperintegral;locallyuniformlyconvergence;uniformcovergence;parameterimproperintegral2前言含参变量积分是一类比较特殊的积分,由于含参变量积分是函数且以积分的形式给出，所以含参变量（正常）积分在积分的计算，等式的证明，不等式的证明及极限的求解等方面都有着广泛的应用。对于含参量反常积分，本文给出了含参量反常积分局部一致收敛的定义，将建立在局部一致收敛的定义的基础上，根据局部一致收敛与一致收敛的区别与联系，参照一致收敛的判别法给出含参量反常积分的几种新的判别法，证明了局部一致收敛与含参量反常积分连续的等价性，最后讨论了含参量反常积分几种收敛性的关系，介绍了几种求反常积分的方法。一、预备知识（一）、含参变量积分的定义定义1.1]1[设函数),(yxf在矩形区域],[],[dcba上有定义，当x取],[ba上任一个固定值0x时，),(0yxf在],[dc上可积，则dcdyyxf),(0就确定一个数，当x在],[ba变动时，这样的积分就定义了一个函数dcdyyxfxI),()(，],[bax（1.1）称此积分为含参变量积分。除（1.1）外，以下两种表示形式的积分)()(),(xdxcdyyxf(],[bax)，0),(dxyxf也是含参变量积分。（二）、含参变量反常积分的定义定义1.2]2[设函数),(yxf在无界区域],[],[cbaR上有定义，若对每一个固定的x],[ba，反常积分3cdyyxf),(（1.2）都收敛，则它的值是x在],[ba上取值的函数，当记这个函数为)(xI时，则有cdyyxfxI),()(，],[bax，（1.3）称（1.2）式为定义在],[ba上的含参变量反常积分。（三）、定理1、含参变量积分的相关定理定理1.1（连续性）若二元函数),(yxf在矩形区域],[],[dcba上连续，则函数dcdyyxfxI),()(在],[ba上连续。定理1.2（连续性）设二元函数),(yxf在区域,|()(),Gxycxydxaxb上连续，其中(),()cxdx为],[ba上的连续函数，则函数)()(),()(xdxcdyyxfxF在],[ba上连续。定理1.3（可微性）若函数),(yxf与其偏导数(,)fxyx都在矩形区域],[],[dcbaR上连续，则函数dcdyyxfxI),()(在],[ba上可微，且(,)(,)ddccdfxydyfxydydxx.定理1.4设),(yxf和),(yxfx在],[],[dcba上连续，则dcdyyxfxI),()(在],[ba上有连续的导函数，且4dcxdyyxfxI),()(．定理1.5设函数),(yxf，),(yxfx都在],[],[dcba上连续，又)(xc和)(xd在],[ba存在，且当],[bax时，有)(xcc，dxd)(，则)()(),()(xdxcdyyxfxF在],[ba上可导，且)()(,)()(,),()()()(xcxcxfxdxdxfdyyxfxFxdxcx．定理1.6（可积性）若),(yxf在矩形区域],[],[dcbaR上连续，则()Ix和()Jx分别在],[ba和],[dc上可积。定理1.7设),(yxf在],[],[dcba上连续，且dcdyyxfxI),()(，则badcbadxyxfdydxxI),()(，即badcdcbadxyxfdydyyxfdx),(),(．2、含参变量反常积分的相关定理定理1.8（连续性）设),(yxf在],[],[cba上连续，若含参量反常积分cdyyxfxI),()(在],[ba上一致收敛，则()Ix在,ab连续。定理1.9]3[设),(yxf，),(yxfy在],[],[dca连续，且adxyxf),(关于y在],[dc上收敛,aydxyxf),(关于y在],[dc上一致收敛，则adxyxfyI),()(在],[dc上可微，且在],[dc上有aydxyxfyI),()(．定理1.10设),(yxf在],[],[cba上连续，若cdyyxfxI),()(在],[ba上一致收敛，则()Ix在],[ba上可积，且baccbadxyxfdydyyxfdx),(),(．5定理1.11]4[设),(yxf在],[],[ca上连续，且adxyxf),(关于y在],[dc上一致收敛,cdyyxf),(关于x在],[ba上一致收敛．设cadyyxfdx),(和acdxyxfdy),(中有一个存在，则caacdyyxfdxdxyxfdy),(),(．定理1.12（连续性定理）设),(yxf在],[],[dca上连续，而adxyxf),(关于y在],[dc上一致收敛，则函数adxyxfyI),()(在],[dc上连续．],[0dcy有aayyayydxyxfdxyxfdxyxf),(),(lim),(lim000．定理1.135若0,0ba，且)(f在),0(上可积，则下式成立02041dabfadbaf．二、含参变量积分的应用（一）、用含参变量积分解决积分计算的解题模式61、利用含参变量积分解决定积分、广义积分的解题模式数学分析中一元函数的定积分、广义积分(收敛)都是数值问题。求其积分值一般直接利用牛顿—莱布尼兹公式。但对一些特殊的积分如120ln(1)1xdxx，0sinxdxx，20xedx等直接运用牛顿—莱布尼兹公式行不通,借助含参变量积分可给出解决此类问题的途径