全国中考数学试题分知识点汇编：48--几何最值

第1页/共25页一、填空题1.（2019江苏苏州，18，3分）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之问的距离最短为（结果保留根号）．【答案】23【解析】本题解答时要连接MP，PN，利用菱形的性质，得出△PMN为直角三角形，然后利用勾股定理，求出用PA的长来表示的MN的长，最后利用二次函数的性质求出MN的最小值.连接PM，PN，∵四边形APCD，PBFE是菱形，∴PA=PC，∵AM=MC，∴PM⊥AC，同理PN⊥BE.∴∠CPM+∠CPN=119022APCBPE゜，∵∠DAP=60゜，∴∠CAP==∠NPB=30゜，设AP=x，则PB=8-x，∴PM=12x，PN=3(8)2x∴MN2222213()[(8)](6)1222PMPNxxx，∴当x=6时，MN有最小值，最小值为23.二、解答题1.（2019广东省，25，分值）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC=_______60（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【思路分析】（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面第2页/共25页积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．【解题过程】解：（1）由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°．故答案为60．（2）如图1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=12OB=2，AB=3OA=23，∴S△AOC=12•OA•AB=12×2×23=23，∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC=22ABBC=27，∴OP=243221727AOBSAC．（3）①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ON•sin60°=第3页/共25页32x，∴S△OMN=12•OM•NE=12×1.5x×32x，∴y=338x2．∴x=83时，y有最大值，最大值=833．②当83＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BM•sin60°=32（8﹣1.5x），∴y=12×ON×MH=﹣338x2+23x．当x=83时，y取最大值833，∴y＜833，③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=23，∴y=12•MN•OG=123﹣532x，当x=4时，y有最大值，最大值=23，综上所述，y有最大值，最大值为833．第4页/共25页【知识点】图形的旋转；解直角三角形；函数的最值2.（2019广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求14AQ＋EQ的最小值.第26题图【思路分析】(1)根据题意，先求出点B、C的坐标，运用待定系数求出抛物线的解析式；(2)用点m表示出FH和PF的长，再由FH＝HP列关于m的方程求解；(3)连接AH，以AH为边构造相似三角形，将14AQ转化为某一个固定点的线段，再由三点共线计算出14AQ＋EQ的最小值.【解题过程】(1)∵OB＝3OA＝3OC，A(3，0)，∴点B、C的坐标分别为(－33，0)，(－3，0).设抛物线的解析式为y＝a(x＋33)(x－3)，代入点C的坐标，得：－3＝a·33·(－3)，解得：a＝13.故该抛物线的解析式为y＝13(x＋33)(x－3)＝13x2＋233x－3.………………3分(2)在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝OCOA＝3，∴∠OAC＝60°.又∵AH是∠FAC的平分线，第5页/共25页∴∠FAH＝30°，则AF＝3FH.由点P的横坐标为m，则它的纵坐标为13m2＋233m－3.∴AF＝3－m，PF＝3－13m2－233m.∴FH＝33AF＝33(3－m).∵FH＝HP，则PF＝2FH，∴233(3－m)＝13m2＋233m－3.解得：m＝3(舍去)或m＝－3.故m的值为－3.………………6分(3)连接CH.∵AF＝AC＝23，∠FAH＝∠CAH，AF＝AF，∴△AHF≌△AHC(SAS)，∴FH＝CH＝2.故⊙H的半径为1.在HA上截取HM＝14，则AM＝4－14＝154.∴HMHQ＝HQHA，且∠QHM＝∠AHQ，∴△QHM∽△AHQ，∴AQMQ＝14，则14AQ＝MQ，∴14AQ＋QE＝QM＋QE.………………9分∵点E、M是定点，故当点M、Q、E共线时，QM＋QE的值最小，即最小值为线段ME的长.第6页/共25页在Rt△AEM中，由勾股定理可知：ME＝22AEAM＝2215234＝4174.………………10分【知识点】二次函数与几何综合题3.（2019四川乐山，1，3）在平面直角坐标系中，抛物线2yaxbxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【思路分析】本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.xylPQMHFEDCBAO第7页/共25页【解题过程】解：（1）∵OA=1，OB=4，∴A（1，0），B（-4，0），--------------------1分设所示抛物线的解析式为41yaxx，∵C（0，43）在抛物线上，解得13a，∴抛物线的解析式为1413yxx或21433yxx-----------------------------3分（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似，其理由如下：①在Rt△AOC中，OA=1，43OC，则3tan4OAACOOC，又∵3tan4OAD，∴∠OAD=∠ACO，-------------------------------------------------------------------------------------4分∵直线l的解析式为314yx，∴D（0，34），又∵C（0，43），∴CD=4373412第8页/共25页由AC2=OC2+OA2，得53AC.----------------------------------------------------------------------5分在△AQP中，AP=AB-PB=5-2t，AQ=t，由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，只需APCDAQAC或APACAQCD，-------------------------------------------------------------------6分则有7521253tt或5523712tt，-----------------------------------------------------------------7分解得110047t，23534t，∵t1＜2.5，t2＜2.5，∴存在10047t或3534t，使得△APQ与△PQA相似--------------------------------------9分②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，其理由如下：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于点N，如图6所示，在△APF中，3sin525PFAPPAFt，在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得54AD-------------------------------------------------10分在△ADC中，由1122ADCSADCNCDOA，第9页/共25页∴717125154CDOACNAD-------------------------------------------------------------------11分∴当139t时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.-------------------------------------------12分图6【知识点】二次函数；勾股定理；三角形相似的判定与性质；三角形面积；待定系数法；转化思想；数形结合思想；分类讨论思想4.（2019黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x²+bx+c经过点A，C.（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示，M是线段OA上的一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为_________；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.注：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（24