2018年专题10-(几何)最值问题(含详细答案)

几何最值1/16专题10几何最值问题【十二个基本问题】几何最值2/16几何最值3/161．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．61cmB．11cmC．13cmD．17cm第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝2015cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2B．2.2C．2.4D．2.54．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（）A．10B．8C．53D．65．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB＝4,BC＝4,CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）在（2）的条件下，求点B1到最短路径的距离．6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、P2分别在OA、OB上，求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PP1P2的周长．几何最值4/167．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．第7题第8题第9题8．如图，在等腰Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BC＝42,点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．9．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧⌒AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A．12B．22C．32D．3410．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．几何最值5/1611．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，－3)．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．(1)求l1的解析式；(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．几何最值6/1612．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP＋∠ADE＝180°,即B、P、D、E四点共线，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．13．问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明几何最值7/16理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．几何最值8/1614．如图所示，已知抛物线y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝－3x＋b与抛物线的另一个交点为D．(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？几何最值9/16答案1．平面展开－－－最短路径问题解：如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．∴PA＝4＋2＋4＋2＝12(cm),QA＝5cm,∴PQ＝PA2＋AQ2＝13cm．故选：C．2．解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E,∵r＝20cm,h＝2015cm∴由勾股定理可得母线l＝r2＋h2＝80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝nπ×80180,∴n＝90°即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：AA'＝A′E2＋AE2＝802cm．答：蚂蚁爬行的最短距离为802cm．故答案为：802cm．3．解：连接AP,∵在△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2,即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4,∴EF的最小值为2.4,故答案为：2.4．4．解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC＝55,AC边上的高为＝AB﹒BCAC＝25,所以BE＝45．∵△ABC∽△EFB,∴ABEF＝ACBE,即10EF＝5545EF＝8．故选：B．5．解：（1）如图，木柜的表面展开图是矩形ABC'1D1或ACC1A1．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'1或AC1;（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'1D1爬过的路径AC'1的长是l1＝42＋(4＋5)2．几何最值10/16蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长l1＝97,蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2＝(4＋4)2＋52．l1＞l2,故最短路径的长是l289．（3）作B1E⊥AC1于E，∵∠C1EB1＝∠C1A1A,∠A1C1A是公共角，∴△AA1C1∽△B1EC1,即B1EAA1＝B1C1AC1,则B1E＝B1C1AC1﹒AA1＝489﹒5＝2089为所求．6．解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点P1、P2,连接OM、ON、PP1、PP2,此时△PP1P2的周长最小,△PP1P2的周长＝P1P2,PP1＋P1P2＋PP2＝MP1＋P1P2＋NP2＝MN，∵M、N分别是P关于OA、OB的对称点，∴∠MOA＝∠AOP,∠NOB＝∠BOP,PP1＝P1M,PP2＝P2N,MO＝PO＝NO，∴∠MON＝∠MOA＋∠AOP＋∠NOB＋∠BOP＝2∠AOB,∵∠AOB＝30°,∴∠MON＝2×30°＝60°,∴△OMN是等边三角形，又∵△PP1P2的周长＝P1P2,PP1＋P1P2＋PP2＝MP1＋P1P2＋NP2＝MN，∴△MNP的周长＝MN＝MO＝PO＝10cm．7．解：在正方形ABCD中,AB＝AD＝CD,∠BAD＝∠CDA,∠ADG＝∠CDG,在△ABE和△DCF中,AB＝CD∠BAD＝∠CDAAE＝DF,∴△ABE≌△DCF(SAS),∴∠1＝∠2,在△ADG和△CDG中,AD＝CD∠ADG＝∠CDGDG＝DG,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2＝∠3,∴∠1＝∠3,∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°,∴∠1＋∠BAH＝90°,∴∠AHB＝180°－90°＝90°,取AB的中点O,连接OH、OD,则OH＝AO＝12AB＝1,在Rt△AOD中,OD＝AO2＋AD2＝12＋22＝5,根据三角形的三边关系,OH＋DH＞OD,∴当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,最小值＝OD－OH＝5－1．(解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB,AB直径的半圆⌒AB上运动当O、H、D三点共线时,DH几何最值11/16长度最小)故答案为：5－1．8．解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°,AB＝AC,BC＝42,∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°,∴∠AEB＝90°,∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2,在Rt△AOC中，∵OA＝2,AC＝4，∴OC＝OA2＋AC2＝25,∴CE＝OC－OE＝25－2,即线段CE长度的最小值为25－2．故答案为25－2．9．解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1,AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°,∴∠APB＝12∠AOB＝30°,∵AC⊥AP,∴∠C＝60°,∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°,点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°,如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为34AB2＝34,∴△ABC的最大面积为34．故选：D．10．解：(1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1,0)及C(2,3)得,－1－b＋c＝0－4＋2b＋c＝3,解得b＝2c＝3,故抛物线为y＝－x2＋2x＋3又设直线为y＝kx＋n过点A(－1,0)及C(2,3)得－k＋n＝02k＋n＝3,解得k＝1n＝1故直线AC为y＝x＋1;几何最值12/16(2)如图1,作N点关于直线x＝3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN′的函数关系式为y＝－15x＋215,当M(3,m)在直线DN′上时,MN＋MD的值最小,则m＝－15×3＋215＝185;(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),∵点E在直线AC上,设E(x,x＋1),①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x＋3),∵F在抛物线上,∴x＋3＝－x2＋2x＋3,解得,x＝0或x＝1(舍去)∴E(0,1);②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x－1)由F在抛物线上∴x－1＝－x2＋2x＋3解得x＝1－172或x＝1＋172∴E1－172,3－172或1＋172,3＋172综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、1－172,3－172或1＋172,3＋172;(4)方法一：如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,设Q(x,x＋1),则P()x,－x2＋2x＋3∴PQ＝()－x2＋2x＋3－(x＋1)＝－x2＋x＋2又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝12PQ﹒AG＝12()－x2＋x＋2×3＝－32x－122＋278∴面积的最大值为278．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H