球的切接问题专题

专题：球的切接问题一．知识点1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图1，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。4.正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积223434aaS表．小结:正四面体内切球半径是高的14，外接球半径是高的345.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上。设长方体的棱长分别为a，b，c。怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图a22cb（4）结论：由图形（4）我们可以发现外接球的半径2222cbaR二、题型与方法归类例1、（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R＝332，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π(2)求棱长为1的正四面体外接球的体积．R＝64，∴V球＝43πR3＝43π(64)3＝68π.变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积()A．16πB．20πC．24πD．32π2已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于()A．22B.233C.423D.4333.半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．图1图2图3图42R例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1,OB＝2,OC＝3，求球的体积与表面积。球的表面积S=1442r变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为ACBPA.34B.38C.32D.2例3..已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为．球体积为2053.高考题演练1.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3πB．4πC．D6π2.正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（）A．4πa2B．5πa2C．8πa2D．10πa23.长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）A．5B．7C．D．4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．7.一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长．8.一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为．答案：1.解答：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．2.解答：正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，底面对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的半径为：=．所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4πr2==5πa2．3.解答：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，比较三条路径的长度，得到最短的距离是54.D5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为6.解答：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：87.解答：∵球的表面积为3π，∴球的半径为∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a，则∴a=18.解答：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，[来源:学+科+网]依题意知R2=a2，即R2=a2，∴S球=4πR2=4π•a2=．故答案为：．9.解答：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．10.解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=，R=5∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．