线性代数习题4.2方阵的特征值与特征向量 (1)

上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量第四章§4.2方阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值AnnAA定义4.2.1设为阶方阵，为维非零向量，为一个数，若，则称为矩阵特征值，向量称为对应于特征值的特征向量.的一个3212321222321例如：A，此时2称为的特征值，而称为对应于2的特征向量.注意：特征值和特征向量是成对出现的，但它们之间不是一一对应关系，一个特征值可能对应多个特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量AkkA设都是方阵的对应于特征根特征向量，对于，则也是方阵的对应于特征根特征向量，那么特征值和特征向量的究竟如何求呢？任意非零常数我们来分析一下，由0)(0AEAA若设nnnnnnaaaaaaaaaA.....................212222111211nxxx21，上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量000.....................21212222111211nnnnnnnxxxaaaaaaaaa0...00)(..................)(...)(221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa则有此时为一个齐次线性方程组)0(于是，要使特征值与特征向量存在就是要使上述，而齐次线性方程组有非零方程组有非零解上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量解的条件为nAr)(由于此处的A也可以用克莱姆法则，即系数行列式等于零，即0AE时，方程组有非零解.A0AEAE我们将称为矩阵的特征矩阵，其对应的称为特征方程.AE)(f称为特征多项式记为行列式求矩阵特征值和特征向量的步骤为：m,...,,210)(AEf（1）求特征方程所有的相异实根这些相异实根就是矩阵的特征值；为方阵，上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量0AEii（2）求方程组所有的非零解向量，这些向量就是对应于特征值的特征向量。例1求下列矩阵的特征值和特征向量⑴2621特征方程为5,201032621212AI为特征值，210460232121xxxx时，对应的方程组为上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量003/214623所以，方程组的基础解系为132从而210,132kk所对应的特征向量为520360242121xxxx时，对应的方程组为002/11362412/1520,121kk，所以，方程组的基础解系为，从而所对应的特征向量为上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量练习121101365A20)2(321311001221kk解特征方程为特征向量为上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量例2证明：若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，则证1AAAAA22A再继续施行上述步骤次，就得2mmmAxxAA（1）是的特征值（mmAm是任意常数）（2）当可逆时，是的特征值A1A1故是矩阵的特征值。且是对应于的mmAmAmx特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量111AAxAxAx11Axx（2）当可逆时，A0由可得Axx1A11A1x故是矩阵的特征值，且是对应于的特征向量上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量AkkA)(f)(Afmmaaaf10)(mmAaAaEaAf10)(A类似证明，若是的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中是的多项式，是矩阵的多项式.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量An.57)(3213AAEAfA)(AfAAA3257的特征值为1,2,3,求全部特征值.是阶方阵，)(f根据上述结论，若是的特征值，则是的特征值，三个特征值为3，2，3，3257)(xxxfx是关于的多项式，解AAAA3257例3已知3阶矩阵上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量二、方阵特征值与特征向量的性质An定理4.2.1为阶方阵，则下列结论成立.AnAn（1）矩阵的个特征值之和等于的个对角线元素之和，即nnnaaa221121Ann,,,21为的个特征值)（AnA个特征值的乘积等于An21（2）矩阵的的行列式的值,即上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量m,,,21nAmm,,,21m,,,21m,,,21（3）设是阶方阵的个特征值,依次是与之对应的特征向量,如果互不相等，则线性无关.)()()()(21nAEfnnnnn21121)1()(证设AE(1),nA)(2211nnaaa而的常数项和一次项前系数分别为，所以易得（1）（2）结论，下面证（3）设有常数mxxx,,,21使得02211mmxxx)1,...,2.1(0222111mkxxxmmkmkk上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量上式可化为)0,0,0(111),,,(11221112211mmmmmmmxxx上式等号左端第二个矩阵的行列式，当范德蒙行列式，当各不相等时该行列式不等于零，从而矩阵可逆，于是有)0,0,0(),,,(2211mmxxx).,2,1(0mjxii但).,2,1(0mji).,2,1(0mjxi故所以m,,,21线性无关.上一页下一页首页结束返回线性代数§4.2方阵的特征值与特征向量作业习题P88-894.6（1）（3）,4.8