8.4.1-向量的内积

向量的内积任给两个向量ａ，ｂ，实数|a||b|cosa,b称为向量ａ与ｂ的内积（或数量积），记作ab，即：ab=|a||b|cosa,b。||||baba（2）对于ａ≠0，ｂ≠0，有：cosa,b=（3）abab=0aaa||（1）对任意向量a，有思考：如何利用向量的直角坐标计算向量内积？向量内积的性质向量内积的（数量积）的定义⑵掌握平面向量内积性质的坐标表示方法。⑶能用所学知识解决简单的数学问题。⑴掌握平面向量内积的坐标表示方法。学习目标平面两向量内积的坐标表示平面上取一个直角坐标系[O;e1,e2],设向量a,b的坐标分别是（a1,a2）,（b1,b2）.由于|e1|=|e2|=1,e1·e2=e2·e1=0,因此a·b=（a1e1+a2e2）·（b1e1+b2e2）=a1b1e1·e1+a1b2e1·e2+a2b1e2·e1+a2b2e2·e2=a1b1|e1|2+a2b2|e2|2=a1b1+a2b2所以：a·b=a1b1+a2b2即：两个向量的内积等于它们的横坐标的乘积与纵坐标的乘积之和。知识探索（一）CreativityCreativity向量的长度及平面内两点间的距离公式（1）设a的坐标为（a1,a2），则aaa||2221aa从而P、Q两点的距离为：),(11yx),(22yxPQ（2）在平面直角坐标系[O;e1,e2]中，设两点P、Q的坐标分别为、，则向量的坐标为(x2-x1,y2-y1),||PQ212212)()(yyxx||PQ==知识探索（二）向量垂直的判定设a(a1,a2)，b(b1,b2)，则abab=002211baba知识探索（三）例1设a，b的直角坐标分别是（3，-2）（-5,4）求ab解：ab=3×（-5）+（-2）×4=-23例2已知A,B两点的直角坐标分别是（-2，5），（3，-4），求|AB|22)54()2(38125106解：|AB|===应用举例例4在平面直角坐标系中，判断下述每一对向量是否垂直：解：⑴a·b=0×（-1）+（-2）×3=-6≠0，因此，a与b不垂直。⑵c·d=(-1)×(-3)+3×(-1)=3-3=0,因此c与d垂直。应用举例（1）a(0,-2)，b(-1,3)（2）c(-1,3)，d(-3,-1)例3已知三角形ABC的顶点A,B,C的直角坐标分别是（2，-1），（4，1），（6，-3），证明：三角形ABC是等腰三角形。证明：22)1(1)24(4422|AB|===|BC|===22)13()46(16452|AC|===22)1(3)26(41652因此|BC|=|AC|，从而△ABC是等腰三角形。知识巩固1.在平面直角坐标系中，已知a(3,1),b(-2,5),求ab2.在平面直角坐标系中，已知a(-3,2),求|a|3.在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(0,-3),求这两点间的距离.4.在平面直角坐标系中，判断下列每一对向量是否垂直：（1）a(-3,4),b(2,-1),（2）a(-3,-4),b(4,-3),1.平面两向量内积的坐标表示：2.向量的长度及平面内两点间的距离公式：aaa||2221aa||PQ212212)()(yyxx||PQ==a·b=a1b1+a2b23.向量垂直的判定:02211bababaab=0本节课你学到了些什么？作业练习课本36页1,2,3,4