矩阵的可对角化及其应用

矩阵的可对角化及其应用摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，本文通过利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，并讨论了化矩阵为对角形的具体求解方法，同时给出了可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换MatrixdiagonolizationanditsapplicationAbstract:Matrixdiagonolizationproblemisanimportantprobleminmatrixtheorydiagonolizationmatrix,asakindofspecialmatrix,intheoryandapplicationhastheextremelyvitalsignificance.Thispaperhasmadediagonolizationmatrixanalysisandgeneralization,andusinghigheralgebraandlinearalgebraaregiventherelevanttheoryofmatrixseveralconditionsdiagonolization,alsodiscussedthematrixofthediagonalshapeofsolvingmethod,andfinallysummarized;diagonolizationmatrixinhighpower,thepolicyofusingeigenvaluebegdeterminantbycharacteristicvalueandvalue,featurevectorreversematrix,judgmentmatrixissimilar,vectorSpaces,theapplicationoflineartransformation,etc.Keywords:Thediagonalization;Eigenvalue;Featurevector;Similar;Lineartransformation一、预备知识：定义11：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和kP都有kk，则称为V的一个线性变换．定义2：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合,构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间．定义3：标准形的主对角线上非零元素12,,,rddd称为A的不变因子．定义24：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子．定义5：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．定义36:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=1XAX，则称A相似于B，记为AB，并称由A变到B的变换为相似变换，称X为相似变换矩阵．矩阵可对角化问题是矩阵理论中最基本的问题，下面先给出矩阵可对角化的几种判定定理.定理1：矩阵A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量．推论1：如果在n维线性空间V中，线性变换的特征多项式在数域P中有n个不同的根，那么在某组基下的矩阵是对角形的．推论2：在复数域上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根,那么在某组基下的矩阵是对角形的．例1：已知在一组基下的矩阵为3452A，试问A是否可对角化？解：由于347252所以特征值为122。由的特征值为7，-2互异，故A可对角化．定理42：设线性空间V上的n维线性变换的全部不同特征值是12i，则可对角化的充分与必要条件为V=12tVVV．证明：必要性，设所对应的矩阵可对角化，即存在V的一组基12n，使在这组基下的矩阵为11trtrEE。12t互不相同，显然12r1V，，12tttnrnrnV，对于任一向量V，则11111112ttrrnrnrnnt这里11111rrV，，11tttnrnrnnV于是1tVVV．下证11,r就是1V的一组基，显然只需证每个与特征根1相应的特征向量都可由11,r线性表出，先将分解，即12t，12t如果10，那么是的属于特征根1的特征向量，并且2,t不能全为零。设其中只有1,kii0，1kii是2,3,t中的k个元素，那么11kii，这显然矛盾，故10即11111rr．同理可证与2相应的一组基向量2221,rrr是2V的一组基，，与tV相对应的一组基向量1,tnrn是V的一组基，故V=12tVVV．充分性，取(1,2,)iVit的一组基1,111r且在这组基下的矩阵为1irE，则1,111r1,rttt为V的一组基，从而在此基下的矩阵11trtrEE，故可对角化，即所对应的矩阵可对角化．例52：设A=1001011001101001，试判断A是否可对角化？若能，则求出可逆矩阵T使A成对角形．解：A的特征多项式2210010110201101001EA得12（二重），20（二重）是A的两个互异的特征根，又有特征矩阵1210011001011001100110011010011001EAEA秩均为2，易得12210EAEAEAEA令123410100101,,,01011010，则12,为A的属于20的所有线性无关的特征向量，34,为A的属于12的所有线性无关的特征向量．令T=123410100101,,,01011010，则有12000020000000000TAT定理3：A可对角化当且仅当矩阵A的所有重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数．证明：若所对应的矩阵可对角化，则有V=12tVVV，这里12,,t是的所有互不相同的特征根，取每个iV的一组基，1,2,it，合起来就是V的一组基，那么在这组基下的矩阵显然是对角形A=11trtrEE．于是的特征多项式为11()trrtfxxEAxx，显然()fx的根都在F内，且每个特征根i的重数恰是iV的维数，必要性得证．反之，若设12,,tP是的特征多项式的全部根，它们的重数分别设为12,,trrr，那么12trrrn，取每个V的一组基1,riii，合起来凑成一个含有n个向量的向量组12,,n，从而是V的一组基，故在这组基下的矩阵为对角阵．例63：判断矩阵A=321222361是否可对角化，若可以，求可逆矩阵T使1TAT为对角阵．解：设TTAEA，且323100,226010121001TAE1000010200120024101故A的特征值为12（二重），24，其中100001020,0120024101DP，又2D中的零行数=2=1的重数，4D的零行数=1=2的重数，故A可对角化，由1000012,2000012000123DP可得0,1,21,2,3TT是A属于2的线性无关的特征向量，由1000014,4060012000123DP可得1,2,3T是A属于-4的线性无关的特征向量，令T=011122233，则1224TAT.定理4：复数域上每一个n阶矩阵A都与一个若尔当标准形相似．这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的。它称为A的若尔当标准形．由相似是一个等价关系知，与A相似的矩阵都有相同的若尔当标准形．从这个意义上讲，我们可以把n级方阵划分为以若当标准形为代表元素的等价类．等价类中的每个元素是相似的。由若尔当标准形的构造知，它包含对角形矩阵为它的特殊情况．那么当它满足什么条件时，一个若尔当标准形是一个对角矩阵，也就是可对角化的条件．由于每个初等因子对应一个若当块，例如初等因子为()iri，那它对应的若当块为11iiiiiirrJ，而若当形矩阵是由这样的若当块组成的﹒所以如果每一个若当块都是1阶，那么，这个若当形矩阵J就成了对角阵，那么与之对应的初等因子都是一次的．推论73：n级方阵可对角化的充要条件它的不变因子无重根．推论84：n级方阵可对角化的充要条件它的最小多项式无重根．这三个充要条件充分利用了不变因子，初等因子及最小多项式之间的关系，但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子，一般情况下是通过求最小多项式来解题的．例94：设复数域上的矩阵A=110101300，求A的最小多项式，并判定A是否可对角化？解：32110()11330fEA,由于EA中右上角的二阶子式1011，所以121DD，故321231,3ddd，可见()f即是A的最小多项式，利用有理多项式求有理根的方法知(1)0f，从而2()13f，于是A的特征值为1231,12,12ii，由于Am无重根，故A在复数域上可对角化．定理5：在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，即对于任意一个对称矩阵A都可找到一个可逆矩阵C使CAC成对角阵．例5：化二次型123121323,,226fxxxxxxxxx成标准型．解：123,,fxxx的矩阵为011103130A，取111110110011110202110,110103110024001001130001240CACAC再取2101010,001C221210020210120001002401002410124