向量内积

§7.4向量的内积向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．aOAbOBAOB)1800(OABabOABba若，a与b同向0OABba若，a与b反向180OABab若，a与b垂直，90ba记作0.:,,两向量的夹角定义两向量必须是同起点的范围是注意知识点一：平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的内积（或数量积），记作a·b，即cos||||bacos||||baba（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0a（1）问题3：向量的内积（数量积）运算与向量的数乘运算的结果有什么不同？向量的数乘结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ab|a||b|cos这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围9009018090的正负ba正负0数量积符号由cos的符号所决定知识点三：平面向量的数量积的运算性质1，设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝02，当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；3当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.aa例1.已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9四、平面向量数量积的运算率:(1)交换律：(2)数乘结合律：(3)分配律：abba)()()(bababacbcacba)(数量积不满足结合律和消去率)()(cbacbabacbca（１）a⊥ba·b=0.(判断两向量垂直的依据)||||.2或aaaaaa特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.cos.abab（3）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：,,00ABCABaACbababABC1、已知中，当或时，试判断的形状。练习:,,0ABCABaBCbabABC变式：已知中，当时，试判断的形状。平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1B1OB|b|cosθOABab1B︱a︱cosθC说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab1BBOAab1BOABab)(1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8||,4||32024练一练：类比实数的乘法运算律：()()()abbaabcabcabcabac交换律：结合律：分配律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：abba分配律：cbcacba)(思考１：a·b与b·a相等吗？为什么？思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？问题９:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)121A1BABOabCc2B1||||cos||cosOBOBab11||||cosOAa1122||||||cosABABb如图可知：111112||||||||cos||cos||cosOBOAABabab12||||cos||||cos||||coscabcacb()abcacbc()abcacbc()cabcacb判断下列命题或等式的正确与否若b≠0，ab=0，则a=0若ab=bc，(b≠0)，则a=c（ab）c=a（bc）ab0b0若，a0那么abbcb0ac若（），那么abcabc（）（）错误错误错误3646023.abababab例、已知，，与的夹角为，求222222(1)2(2)ababaabbababab例、对任意向量，是否有以下结论：434ababkakbakb例、已知，，与不共线，为何值时，向量与互相垂直？利用平面向量数量积求解长度问题||aaa1(2008)12,3,abababab例上海:已知，向量与的夹角为，求变式：32,13ababababab若，，求:(1)(2)与的夹角的余弦值.(2008)13,1205ababab练习江苏:已知，向量与的夹角为，求利用平面向量数量积求解夹角问题||||cosbaba32,23,abamnbnmab变式：若两个单位向量与的夹角为，求与的夹角例：已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角奎屯王新敞新疆(2007)21,1b.abaaba练习：上海:已知，（）求，354,3k2kabababab:已知，向量与的夹角为，如果（）（）,求实数的值.6332baababab4:已知，向量与的夹角为，且（）（）=-72,求.一.辨析1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=0.4．若a·b=0，则a,b中至少有一个为0．√×××√５.对任意向量a有.(a·a常记作a2)22aacbcabaa则，若,0.6×练习:小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用︱a︱＝求向量的模.常用求向量的夹角.aa2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义cosabab一、平面向量数量积的定义:已知两个非零向量和，它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积),记作.abbacosbaabcosbaba规定：零向量与任意向量的数量积为0．00a向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜90°时a·b0当90°＜θ≤180°时a·b0当θ=90°时a·b=0cosbaba二、投影:B1OABbaA1OABbacosacosb叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.ba)cos(cosbaba向量在方向上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab1BOABab)(1BBOAab1BOABbaOABba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcoscos.abaabab数量积等于的长度与在的方向上的投影数量的乘积abBAO三、平面向量数量积的几何意义:cos||bcosbaba221.aaaa2224.2abaabb222.ababab3.abcdacadbcbd金榜112.7.8.9平面向量数量积的重要性质:设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则:cos1aaeea02baba判断两个向量垂直的依据同向时与当baba|,|||反向时与当baba|,|||ba//3ba2aaaa或224aaaa求向量模的依据babacos5求向量夹角的依据baba6平面向量数量积的重要性质:00180,0已知，你能得出的坐标吗？),(),,(2211yxbyxaba22222,).,()1(yxayxayxa则若2121yyxxba0).,(),()2(21212211yyxxbayxbyxa，设结论212121212211,cos).,(),()3(yxyxyyxxbababayxbyxa，设自学例5，例6奎屯王新敞新疆解：）（）（babak202）（）（babak021222bbakak）（0260cos1222bbakako）（042214512252）（kk1514k垂直。与时，向量当babakk21514一、利用向量的垂直解题:54602oababkkabab例3、已知，，与的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？例1:22225ababaabb222225,25aabb解：因为25cos55cos32abab222253ababaabb5abababab例2、已知，向量与的夹角为，求，？3例2:二、利用求模:aaaa2解：224263mnnmmn223abmnnm例3、设m和n是两个单位向量，其夹角为，3求a=2m+n，b=2n-3m的夹角？例3:三、利用求夹角:cosbaba2262mnnm27623cos22mnnm例3、设m和n是两个单位向量，其夹角为，3求a=2m+n，b=2n-3m的夹角？例3:三、利用求夹角:cosbaba222amnmn7b同理712cos277abab32,0解：2244nnmm73cos4422nnmm，求的夹角为与，，已知练习obaba12032:babababa3232122解：3)21(32120cos1obaba22352323bbaababa59422222baba34271583120cos5222bbaao79642)(4222bbaababa199642)(5222bbaababababa54【总一总★成竹在胸】公式变形对功