向量及运算

数量关系—第7章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）向量代数与空间解析几何目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第七章目录上页下页返回结束表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,记作e或e.或a.目录上页下页返回结束规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababacba目录上页下页返回结束s3a4a5a2a1a54321aaaaas目录上页下页返回结束2.向量的减法三角不等式a目录上页下页返回结束可见aa1;1aa3.向量与数的乘法是一个数,规定:总之:运算律:结合律分配律因此与a的乘积是一个新向量,记作.aaa)(a)(aaba)(baae则有单位向量.1aaaeaa目录上页下页返回结束定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)a∥b目录上页下页返回结束例1.设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,baACMA2BDMB2.,,,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,•坐标面•卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠO面xOy面yOz目录上页下页返回结束在直角坐标系下xyz向径11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,0(zyB(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rOr)0,,(yxAM),0,(zxC目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:xyzO目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量,),,(zyxxOyzMNBCA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA记kzjyixrikjr目录上页下页返回结束四、利用坐标作向量的线性运算则),,(zzyyxxbababa),,(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbbbaa,0时当a目录上页下页返回结束例2.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示ABMo11AB及实数,1得11),,(212121zzyyxx即AMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(M目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得,221xx,221yy221zz11),,(212121zzyyxx中点公式:ABMoABM目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx则有xOyzMNQRP由勾股定理得因得两点间的距离公式:212212212)()()(zzyyxx对两点与,rOM作NMON),,,(zyxr设OMrOMrOROQOP目录上页下页返回结束例3.求证以证:1M2M3M21MM2)47(2)31(2)12(1432MM2)75(2)12(2)23(631MM2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点目录上页下页返回结束例4.在z轴上求与两点等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为2)4(212)7(z23252)2(z解得故所求点为及.),0,0(914M思考:(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.目录上页下页返回结束(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM得(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM得且例5.已知两点解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的单位向量e.e目录上页下页返回结束Oyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.cos222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.ba,rxr目录上页下页返回结束Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz方向余弦的性质:rxryrz目录上页下页返回结束例6.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos22cos,3π2,3π4π3(21MM目录上页下页返回结束uOuuaa)(Prj或记作M3.向量在轴上的投影第二节Oua则a在轴u上的投影为例如,),,(zyxaaaa在坐标轴上的投影分别为设a与u轴正向的夹角为,M,即cos)(aaucosazyxaaa,,投影的性质2)1)(为实数)MM目录上页下页返回结束例7.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且,aOA求OA在OM方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=,cosAOMOMOA313aacosPrjOAOAOM