高一数学典型例题

目录函数(01)三角函数(10)向量与解斜三角形(23)数列(35)不等式初步(45)概率、统计与算法初步(54)直线方程与线性规划(63)2013重庆数学夏令营1函数一、知识要点回顾（一）简易逻辑1.通过数学实例，熟悉逻辑联结词“或、且、非”的含义；2.掌握命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件和充要条件的概念.（二）函数1.了解映射的概念，能根据定义判断所给对应是否为映射，会求映射中所指定的象或原象；2.会求函数的解析式、定义域和值域；3.理解函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的概念，并会判断与证明；4.了解函数最值的定义，会求函数的最值.（三）基本初等函数1.掌握指数的运算法则和指数函数的定义，并熟悉指数函数的图象与性质；2.掌握对数的运算法则和对数函数的定义，并熟悉对数函数的图象与性质；3.掌握幂函数的定义，并熟悉几种常见幂函数的图象和性质.（四）函数与方程1.理解函数零点的概念，理解并会应用函数实根存在性定理；2.理解关于二次函数实根分布的相关结论.2013重庆数学夏令营2（五）二分法了解二分法的定义，并能熟练使用二分法求函数零点的近似值.二、经典例题例1下列四类函数中，具有性质“对任意的0,0yx，函数)(xf满足)()()(yfxfyxf”的是（）.A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.任意常函数例2函数xxxf9lg)(的零点所在的大致区间是（）.A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)例3设2135,2ln,2logcba，则cba,,的大小关系是（）.A.cbaB.bcaC.bacD.abc例4（1）若函数2)1(2)(2xaxxf在区间]4,(上是减函数，则实数a的取值范围是_______________.（2）若函数2)1(2)(2xaxxf的单调递减区间是]4,(，则实数a的取值是_________.例5已知函数2,)1(2,2)(3xxxxxf，若关于x的方程kxf)(有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______________.2013重庆数学夏令营3例6已知函数)(xf在]2,1[上的表达式为xxf)(，若对于xR，)2()2(xfxf，且)1()3(xfxf，则92f的值为________.例7已知函数axbxxf21)(，ba,为常数且2ab，若对一切x恒有kxfxf)1()(（k为常数），则k＝___________.例8已知)0(012:,2311:22mmxxqxp，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.例9求下列各函数的解析式:(1)设xf满足关系式xxfxf3)1(2，求xf；(2)已知11122xxxxf，求1xf.2013重庆数学夏令营4例10求解下列问题：（1）求下列函数的值域：①2211xxy②xxy21③10264xxy④98212xxy（2）已知函数1)1(2axxay的值域为),0[，求a的取值范围.例11已知)(xf是定义在1,1上的偶函数，且在0,1上为增函数，若0)4()2(2afaf，求实数a的取值范围.2013重庆数学夏令营5例12已知()2xfx可以表示成一个奇函数()gx与一个偶函数()hx之和，若关于x的不等式()(2)0agxhx对于[1,2]x恒成立，求实数a的最小值.例13已知函数10021199100xxxxxxxf，求：关于a的方程2(1)(23)fafaa的解集.2013重庆数学夏令营6例14已知函数2()(0)fxaxbxa的定义域为A，值域为B，若区域{(,),}xyxAyB为一个正方形，求实数a的值.例15已知函数0)1(),1(2)(2fabbaxxxf，关于x的二次方程01)(xf有实根.（1）求证：10a且13b；（2）若m是方程01)(xf的一个实根，判断)4(mf的正负，并说明理由.2013重庆数学夏令营7三、课后针对训练1.若函数1)(2xaxxf仅有一个零点，则实数a的值是（）.A.41B.0或41C.0或1D.12.下列四个函数中，为偶函数的是（）.A.11)(xxxfB.xxxxf22)2()(C.32)(24xxxfD.224)(2xxxf3.若a是实数，函数)(xf对于任意非零实数x都有：1()1fafxxx，且1)1(f，则不等式0)(xxf的解集为（）.A.1,0,15B.1,1,5C.1,00,15D.1,01,54.函数)1(log)(xaxfax在]1,0[上的最大值与最小值之和为a，则a＝_________.5.设3.02131)21(,31log,2logcba，则cba,,的大小关系是___________.6.已知函数)(xf满足：)()()(yfxfyxf，3)1(f，则：7845633421212222ffffffffffff__________2013重庆数学夏令营87.已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf，则25ff的值是___________.8.已知0)1()1(:,23:mxmxqxp，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.9.求下列函数的值域：（1）xxy22（2）13log2xy（3）42xxy10.求下列函数的解析式：（1）已知1)1(2xxxxf，求xf.（2）已知二次函数)(xfy的最大值等于13，且5)1()3(ff，求)(xf.11.已知)(xf是定义在R上的偶函数，且0x时，)1(log)(21xxf.（1）求)1(),0(ff；（2）求函数)(xf的表达式；（3）若0)3()1(afaf，求实数a的取值范围.12.若存在0x使得不等式txx22成立，求实数t的取值范围.13.若方程kxxx11恰有一个实数根，求实数k的取值集合.14.已知函数mxxgmxmxxf)(,4)4(2)(2，若对任意xR,()fx与)(xg的值至少有一个为正数，求实数m的取值范围.2013重庆数学夏令营915.已知()yfx是定义域R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx.（1）求当0x时，()fx的解析式;（2）若关于x的方程2()2fxaa有三个不同的解，求a的取值范围;（3）是否存在正数a、b()ab，当,xab时，()()fxgx，且()gx的值域为ab1,1，若存在，请求出a、b的值；若不存在，说明理由.2013重庆数学夏令营10三角函数一、知识要点回顾1．终边与终边相同的表示方法？终边与终边关于x轴对称的表示方法？终边与终边关于y轴对称的表示方法？终边与终边关于原点对称的表示方法？与k（kZ）的终边关系？2．弧长公式：||lR;扇形面积公式：211||22SlRR;1弧度:1rad57.3.3．三角函数的定义与符号特征是：一是全正、二正弦正、三正切正、四余弦正.4．三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上（起点在x轴上）”，余弦线“躺在x轴上（起点是原点）”，正切线“站在点A(1,0)处（起点是A）”.为锐角sintan.5．三角函数同角关系中，平方关系的运用，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”.6．三角函数诱导公式的理解方法是：奇变偶不变，符号看象限.7．三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．2013重庆数学夏令营11如：()()，2()()，2()()，22，222等.常值变换主要指“1”的变换：221sincosxxtancottansincos042xx三角式的变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、运算结构的转化（和式与积式的互化）.解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.注意：和（差）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次（升次）公式中的符号特征．“正余弦‘三兄妹—sincossincosxxxx、’的联系”.辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx（其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定）在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为13或的情形.sincosAxBxC有实数解222ABC.8．三角函数性质、图像及其变换：（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性.注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响；一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定.如2sin,sinyxyx的周期都是,但sincosyxx的周期为2013重庆数学夏令营122，y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|,xyxyxycos,sin,sin2，y=cos|x|是周期函数吗？（2）三角函数图像及其几何性质.（3）三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.（4）三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法（五点横坐标成等差数列）和变换法.二、经典例题例1化简：sin()sin()()sin()cos()nnnnnZ.例2已知tan2，求值：（1）222sinsincoscos2；（2）25sincos3sincoscos.2013重庆数学夏令营13例3（1）求值：tan70cos10(3tan201)，2[2sin50sin10(13tan10)]2sin80.（2）[sin1][sin2][sin3][sin2011].（[]x表示不超过实数x的最大整数）（3）设sin(sin2011),sin(cos2011),abcos(sin2011),ccos(cos2011)d则a，b，c，d的大小关系为.（4）由3312,(,),sin(),sin()45413，则cos()4.2013重庆数学夏令营14（5）已知11tan(),tan,,(0,)27，求2的值.（6