无穷小与无穷大及四则运算

宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics知识目标1、理解无穷大与无穷小的概念2、掌握无穷小的性质能力目标1、会用无穷小计算函数的极限2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics实例1在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics实例2将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics一、无穷小概念1.无穷小的定义,027lim33xx,01limxx例时为无穷小是当函数xx1.3273时为无穷小是当xx如果当（或）时，函数f(x)的极限是零，那么称函数f(x)当（或）时为无穷小。0xxx0xxx表示常用,,宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例1判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当3x时为无穷小是当1x时不是无穷小1x)3(0)()1(xxf00lim3x)1(1)2(xx11lim1xx宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics简言之，极限为0的量叫做无穷小量。.,无穷小是变量等同无穷小与很小的数不能(1).(2)的变化趋向无穷小必须指明自变量，即若0)(lim0)(lim0xfxfxxx)(0时的无穷小。是当则xxxxf.一的常数一的常数零是可作为无穷小的惟宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics2.无穷小性质（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。)sin(lim.10xxx求例得有性质时无穷小都是及函数解1,0sin:xxyxy0)sin(lim0xxx)21(lim.2222nnnnn求例但均为无穷小时当解,,2,1,:222nnnnn21)2121(lim2)1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics.(2)仍为无穷小有界函数与无穷小的积例3求极限.1sinlim0xxx解,0lim0xx因为由性质（2）.01sinlim0xxx,11sinx而例4求极限.sin1limxxx解,01limxx因为,1sinx而由性质（2）.0sin1limxxx宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics当0x时，xxx3,,2都是无穷小，他们的积xxx3,,2趋向于零的速度。仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？并通过列表观察20lim0,3xxx,3lim20xxx3232lim0xxxx10.50.10.01…3x31.50.30.03…x210.250.010.0001…例5：宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics3、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0(１)如果，那么称是的高阶无穷小0lim(２)如果，那么称是的低阶无穷小lim(３)如果，那么称是的同阶无穷小)0(limcc特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无穷小,记作：1lim宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics1sinlim,3232lim,3lim,03lim002020xxxxxxxxxxxx高阶的无穷小是比xx32低阶的无穷小是比23xx同阶的无穷小是比xx32是等价无穷小与xxsin宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics～～～～～常用等价无穷小:第八节目录上页下页返回结束宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics实例3小王有本金A元，银行存款的年利率为r，不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一年末的本利和为A(1+r),第二年末的本利和为A(1+r)2，…，第n年末的本利和为A(1+r)n，那么随着存款时间推移，本利和会如何变化？宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics二、无穷大的概念,1)(xxf观察时，当0x无限增大|)(|xf记作)(lim)(0xfxxx如,1lim0xx称x1是当.0时的无穷大x,3limnn称n3是当.时的无穷大n,)1(limxx称1x是当.时的无穷大x如果当（或）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当（或）时为无穷大。0xxx0xxx定义:宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics注意！时极限或而是当无穷大不是数xxx0,1.2量的变化趋向无穷大必须指明自变，但极限仍然不存在。为极限3简言之，极限为无穷的量叫做无穷大量..,的数分开因此要把无穷大与很大的函数为宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics,0)(,)(xfxf且为无穷小如果,)(为无穷大如果xf;)(1为无穷小则xf,程中在自变量的同一变化过三、无穷小与无穷大的关系.)(1为无穷大则xf无穷小与无穷大互为“倒数”.例,0)1(lim1xx.11lim1xx宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics训练：当推出一种新的电子游戏程序时，其销售量与时间的函数关系为，为月份，100200)(2tttst（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的销售量。（2）请对该产品的长期销售做出预测。解：8235.8136120010066200)6()1(2s8361.924424001001212200)12(2s宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics1576.51003636200)36(2s（2）随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间时的销售量，即t0100200lim100200lim2tttttt上式说明当时间时，销售量的极限为0，即购买此游戏的人会越来越少，人们转向购买新的游戏。t宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics引例10000coslim20xxx求10000cos2xx？…0.0000000050.009900.249190…0.010.10.5x宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics则设,)(lim,)(limBxgAxf.)(lim)(lim)()(lim.1BAxgxfxgxf.)(lim)(lim)()(lim.2ABxgxfxgxf),(为常数ccAxfcxcf)(lim)(lim)1(.)](lim[)]([limnnxfxf(2)BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim.3)0(B四、极限的四则运算法则宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例1求).23(lim21xxx解)23(lim21xxx2lim3limlim1121xxxxx2lim3)lim(121xxxx0231例2求.41lim23xxx解41lim23xxx)4(lim)1(lim323xxxx4lim1lim323xxxx4319.10宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例3求.23lim2xxx解因为xxx32lim2,03lim)2(lim22xxxx所以.23lim2xxx例4求39lim23xxx解39lim23xxx3)3)(3(lim3xxxx)3(lim3xx.633宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics000)()(lim0ABAxgxfxx直接计算)()(lim00)()(lim00xgxfAxfxgxxxx分解因式分解或分母有理化例5求11lim220xxx解11lim220xxx)11)(11()11(lim22220xxxxx)11(lim20xx2小结:宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例6求.1332lim22xxx解1332lim22xxx221332limxxx)13(lim)32(lim22xxxx.32宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例7求.32423lim32xxxxx解)324(lim)213(lim3232xxxxxxx32423lim32xxxxx.040宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics例8求.11lim2xxxx解,)11(lim)111(lim22xxxxxx11lim2xxxx因为,0)11(lim2xxx,0)111(lim2xxx所以,011111lim22xxxxx,11111lim22xxxxx所以.11lim2xxxx宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics一般地，有结论mmmmkkkkmkxaxaxaxabxbxbxbxQxP11101110)()(lim,,0,,,,00mkmkabmk其中，k、m为非负整数，都不为0.00,ba宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics训练1：tetP5.02020)(设一产品的价格满足（单位：元），请你对该产品的长期价格作一预测．解可通过求该产品价格在时的极限来预测长期价格，因为ttttttteetP5.05.020lim20lim)2020(lim)(lim20020lim2020lim5.0ttte所以该产品的长期价格为20元宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematics训练2：100个细菌放在培养器中，其中有足够的食物，但空间有限，对空间的竞争使得细菌总数N与时间t的关系为：问容器中最多能容下多少细菌？teN1158.0911000解：求容器中最多能容下多少细菌，即求当时，N的极限，因为t1000011000911000limlim1158.0ttteN所以培养器中最多能容下1000个细菌宁波职业技术学院数学教研室高等数学AdvancedMathematicsRRRr10510解：电路的总电阻为可变电阻这条支路突然断路时，即RR101011010lim1010limRRRRR此时电路的总