张量分析第三章

第三章张量代数在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射m阶张量空间定义了mPVV。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐标系。则的基底为121;13,,13miiimiiiii张量都可以表示为：。Pm中的任意11;mmiiiimAPAiiA在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将略去不写。如：mmrrrrrr212ABBA3.1张量代数运算在§1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同阶张量;;mPFAB（1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量（同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、运算按：11111()mmmmmiiiiiiiiiiABCABiiiiC;mPABC、、（3.1-1）定义。而数乘运算按：11();;mmiiiimAPFAiiA（3.1-2）定义。按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：111()mmmiiiiiiABABii（3.1-3）张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。张量积：设张量；则A和B的张量积按：;mnPPAB11111111()()mnmnmnnmiijjiijjiijjjjiiABABABABiiiiBABAiiii（3.1-4）定义。由定义可以看出AB和BA都是m+n阶张量。且一般AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一组给定的i1,…,im;j1,…,jn值，11mnjjjjAB、都是确定的实数。记nmnmjjjjjjiiBAC1111。则：11111111mnmnmnnmiijjiijjiijjjjiiCCABCiiiiBACiiii（3.1-4a）;;,mnmnPPPABCC张量间的张量积运算有如下性质：1．ACABCBA)(CABAACB)(,;nmPPBCA（3.1-5）2．ABCCABBCA)()(;;nmsPPPABC（3.1-5a）（证明由读者自行完成）r点乘（积）：设2;;mnmnrPPPABC;,rminmnA、B张量的r点乘：。则定义1111111111111111111111()()()()()()();(mmnnmrmrmmrmrmrrnrrnmmrmrnmrrnmrrnmrrnrriiiijjjjriiiiiiiijjjjjjjjiiiijjiijjiijjjjiijjAABABABABiiBiiiiiiiiiiiiiiiiiiC,)rminmn（3.1-6）当m=n=r时，BA)(r称为A全点乘B。且记为：BABA⊙)(r（3.1-7）由定义（3.1-6）式可知：ACABACBCABACBA)()()()()(）)(rrrrrr）（（（3.1-8）但必须注意一般情况下：])()[()]()()()(CBACBAABBAsrsrrr[（3.1-9）由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量积和r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则：一阶张量与一阶张量的张量积：2()();iijjijijijijuuuuAPuviiiiiiAA（3.1-10a）二阶张量与一阶张量的张量积：3;ijijkkijkijkAuAuPAuiiiiiiΦΦ（）（）（）（3.1-10b）一阶张量与二阶张量的张量积：3;kkijijijkkijuAAuPuAiiiiiiΨΨ（）（）（）（3.1-10c）二阶张量与二阶张量的张量积：4;ijijmnmnijmnijmnABABPABiiiiiiiiΦΦ（（)）（）（3.1-10d）一阶张量（全）点乘：iijjiiuvuvuvii（）（）（）（3.1-10e）一阶张量与二阶张量的（一）点乘：()()()()iimnmnimnimnmmnnuAuAuAuAiiiiiii（3.1-10f）二阶张量与一阶张量的（一）点乘：()()()()mnmniiimnmninmnmAuuAuAAuiiiiiii（3.1-10g）二阶张量与二阶张量的（一）点乘：)()ijijmnmnijmnijmnijjninABABABABiiiiiiiiii（）（）（（3.1-10h）二阶张量与二阶张量的（双）点乘：:():()()()()ijijmnmnijmnimjnijijABABABABiiiiiiii（3.1-10i）四阶张量与二阶张量的（双）点乘：::)()()ijklijklmnmnijklmnijkmlnijklklijAAAΦAiiiiiiiiiiiiii（）（）（（3.1-10j）二阶张量与四阶张量的（双）点乘：::)()()mnmnijklijklmnijklminjklijijklklAAAAΦiiiiiiiiiiiiii（）（）（（3.1-10k）由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、（3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张量和四阶单位张量。即满足：1nnuAu0Vu20PAVnuuA0Vu20PAAAΦ:02PA40PΦAΦA0:2PA40PΦ（3.1-11）00;;;;nAA的分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质：1．uunVu2．jiijiiiiiiAA00（3.1-12）且记00;AA为I。即jiijiiiiiiI。并称为单位二阶张量。I3．nmjijnimjijiiiiiiiiiΦΦ00（3.1-13）且记00;为J。即ijijimjnijmnJiiiiiiii。并称为单位二阶J张量。证：1．对任意;iiuVuuu∴)(1jjiiuuuiuu111()1||||22223jj222ii23u+u+uuuuuu+u+uuuuunuu2．()iijjijijiiuuuuIiiiiiu()()iijjjiijiiuuuIuiiiiiu设存在另一二阶张量∵;uIuIouo∴;IIOII3．:():()mnmnijijmnmijnijmnmnAAAAJiiiiiiiiiiA:():()ijijmnmnmnimjnijmnmnAAAJAiiiiiiiiiiA四阶单位张量唯一性证明留作练习。IuIIu，且满足。则：（唯一性）例1：如图3－1所示刚体Ω以角速度ω(ω是对刚体整体运动的述量。ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速度都是ω)。物体点r处的密度为ρ(r)；速度矢量为u(r)。则处微分体积dV所包含质量ρ(r)dV对o点动量矩为：dVd)()(0rrurHΩroi2i3i1图3－1试证明物体Ω对o点的动量矩为：ωJH0式中dV)()(rrrIrrJ称为物体Ω对o点的二阶惯性矩张量（注：J不是四阶单位张量。但J表达式中的I是二阶单位张量）。证：rωru)(()()()())odVHrurωrdVrrωrωrdV()()rrIωrrωdVrrIrrωdVJω图3－2rox2x3x1x3t3t2t1tnx2x1bacho(b)(a)例2：如图3－2所示受力物体。若物体在确定的约束条件下处于平衡状态。试分析r点处的应力状态。解：在物体r点处用三个与坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2(b)所示。取出的四面体与物体中剩余部分的作用通过四个面上的作用力联系。设obc,oac,oab,abc面上的作用力的平均分布集度为t1,t2,t3。四面体内每单位体积上受有f=fiii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量；abc的面积为ΔA。则三角形obc,oac,oab的面积分别为：111222333;;AAAnAAAnAAAnninini按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：111222333()();()()()()AAiiAAiiAAii在坐标系{o;i1,i2,i3}中t1,t2,t3可表示为：iittttiiiit332211111112213312211222233233113223333iiiiiitiiiitiiiitiiii由牛顿第二定律（本例中就是平衡方程）得：aofiAtiAtiAtnAtVV或)()()()(333222111式中ΔV是四面体的体积；ρ(r)是密度；a是加速度。当h→0时：ΔV→0;ρ(r)ΔV→0。同时t1,t2,t3分别为过r点的四个面上的内力分布集度（不在是ΔA,ΔA1,ΔA2,ΔA3面上的平均内力分布集度）。并称t,t1,t2,t3是过r点的应力矢量。且：11122233301122331122330lim()()()()limhhVVAAnAnAnVVnnntAntAitAitAifattttfatttto∴112233112233112233112233112233()()()()jjjjjjijijnnntttttintintintititinnitititniiiiiiniinσσ=σ(r)称为r点的应力张量。jiijii对i;j的确定值，表示点r外法线方向为ii的面上沿ij方向的应矢量的大小为σij。同时：σnt还表明：确定点r的三个坐标面上的各坐标方向的应力矢量一旦给定（给定），则过r点以单位矢量n为外法jiijii线的斜截面上应力矢量被唯一确定。或者说应力张量σ完全描述了一点应力状态。3.2仿射量（二阶张量）在3.1中的例1和例2通过转动刚体的动量矩和物体内一点的平衡讨论，给出了转动惯量二阶张量J和应力二阶张量σ；在许多数学和物理问题的描述中，二阶张量被广泛的引入（如几何学中的度量二阶张量、连续介质学中的变形梯度二阶张量等）。因此二阶张量的分析具有重要的实际意义。本节及后文的章节中将重点分析二阶张量。二阶张量按张量积的运算，可以看作是两个矢量u∈V,v∈V通过张量积的运算确定。即：2;PAuvA若{o;i1,i2,i3}是V的坐标系。则：()()()iijjijijijijuvuvAA=iiiiii每一组Aij（九个实数）确定唯一的二阶张量。所有二阶张量按张量的加法和数乘运算构成矢量（广义矢量）空间P2。另一方面，对任意A∈P2,u∈V有：;;VVAuvvuAvv显然二阶张量A对任意矢量u∈V。其左点乘·（）和右点乘（）·分别实现一阶矢量空间V到一阶矢量空间V的映射：():;():AuAuvAuuAv（3.2-1）一般A的左、右点乘是不同的映射。即：AuuA并且由（3.1-8）式可知：()()();,,,VF