高中数学-离散型随机变量的分布列

广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第1页共17页教师版第五单元第4讲离散型随机变量的分布列（6课时）一.基本理论(一)基本概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示,随机变量常用希腊字母,等表示.(2)离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数是一个离散型随机变量.(3)连续型随机变量如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.（二）离散型随机变量的分布列1.设离散型随机变量可能取的值为,,,21nxxx,取每一个值)4,3,2,1(ixi的概率iipxP)(,则称下表1x2x…nx…P1p2p…ip…为随机变量的概率分布,简称为的分布列.分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式;(B)一组等式(C)压缩为一个帶i的形式.2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质:(A),3,2,1,0ipi(B)121pp3.求分布列三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．4..离散型随机变量的期望与方差一般地,若离散型随机变量的概率分布列为1x2x…nx…P1p2p…ip…则称nnpxpxpxE2211为的数学期望或平均数.或均值.广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第2页共17页nnpExpExpExD2222121)()()(为的均方差.简称方差.D叫标准差.性质:(1)22)()(EED(2)baEbaE)((3)DabaD2)(（三）几种常见的随机变量的分布1.两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．2.二项分布在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是,,2,1,0,1,)(nkpqqpCkPknkkn得到随机变量的概率分布如下01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC…0nnnCpq称随机变量服从二项分布,记作~B(n,p),并记knkknqpC=b(k;n,p)3.超几何分布一般地,在含有M件次品中的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的概率为(),0,1,2,3,,,knkMNMnNCCPxkkmC其中min,,,,,,mMnnNMNnMNN称分布列X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCC…mnmMNMnNCCC4.几何分布(1)若～(,)gkp，则1Ep(2)若～(,)gkp，则21pDp广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第3页共17页二.题型分析题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列题1.(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．[审题视点]本题解题的关键是求出Y的取值及取每一个值的概率，注意用分布列的性质进行检验．解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝216＝18P(Y＝18)＝416＝14P(Y＝19)＝416＝14P(Y＝20)＝416＝14P(Y＝21)＝216＝18则随机变量Y的分布列是：Y1718192021P1814141418(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.题2.【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望．广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第4页共17页【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。【解析】题型2由古典概型求离散型随机变量的分布列题3.（2012年韶关二模）有一个3×4×5的长方体,它的六个面上均涂上颜色.现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为.（１）求0的概率；（２）求的分布列和数学期望.（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P…（3分）（２）由（1）可知1(0)10P；11(1)30P；2(2)5P；2(3)15P…（7分）分布列0123广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第5页共17页p110113025215…（10分）E=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730…（12分）题4.【2012高考真题浙江理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．(Ⅰ)求X的分布列；(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．【答案】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。(Ⅰ)X的可能取值有：3，4，5，6．35395(3)42CPXC；21543920(4)42CCPXC；12543915(5)42CCPXC；34392(6)42CPXC．故，所求X的分布列为X3456P542201042211554214214221(Ⅱ)所求X的数学期望E(X)为：E(X)＝645105191()34564221142121iiPXi．题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列题5.【2012高考真题重庆理17】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【答案】广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第6页共17页题6.【2012高考真题全国卷理19】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.【答案】广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第7页共17页题型4.两点分布题7.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50000×12%＝6000(元)，－50000×50%＝－25000(元)．由已知条件随机变量X的概率分布列是广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第8页共17页X6000－25000P2425125因此E(X)＝6000×2425＋(－25000)×125＝4760答案4760题型4.二项分布题8.（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件A,“蜜蜂落入第二实验区”为事件B.…1分依题意，1111342183ShVPAVSh圆锥底面圆锥小椎体圆椎体圆锥底面圆锥……………3分∴7()18PBPA∴蜜蜂落入第二实验区的概率为78。……………4分（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件C，则………………5分301091102708708187)(CCP∴恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率30702.…………………8分（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X满足二项分布，即X～140,8………………………10分∴随机变量X的数学期望EX=40×18=5………………………12分题9.（2012年茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植,,,ABCD四棵风景树，受本地地理环境的影响，,AB广东北江中学2013届高三理科数学补充讲义离散型随机变量的分布列第9页共17页两棵树的成活的概率均为12，另外两棵树,CD为进口树种，其成活概率都为(01)aa，设表示最终成活的树的数量.（1）若出现,AB有且只有一颗成活的概率与,CD都成活的概率相等，求a的值；（2）求的分布列（用a表示）；（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围.解：（1）由题意，得2112(1)22a，∴22a.………2分（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4.……3分020222211(0)(1)(1)(1)24pCCaa………………4分10202122221111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222pCCaCCaaa…………5分2202110222222222211111(2)()(1)(1)(1)(1)(122)22224pCCaCCaaCCaaa…………6分2211222222111(3)()(1)(1)2222apCCaaCCa…………………………………………7分22222221(4)()24apCCa…………………………………………8分得的分布列为：…………………………9分01234p21(1)4a1(1)2a21(122)4aa2a24a（3）由01a，显然21(1)4a1(1)2a,24a2a……………10分∴(2)(1)pp21(122)4aa211(1)(241)024aaa…11分(2)(3)pp21(122)4aa21(21)024aa……12分广东北江中学2013届高三