4运筹学目标规划讲义

目标规划GoalProgramming2本章主讲内容•目标规划问题及其数学模型（重点掌握）•求解GP的思路•目标规划的图解法•目标规划的单纯形法★★目标规划问题及其数学模型•线性规划的局限性–只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。–线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。–线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。–线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。•实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标–生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等；–生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等。–这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。–求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。•在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。•目标规划（GoalProgramming）•目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。•在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。•美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中，首先提出的。•多目标线性规划–含有多个优化目标的线性规划。–线性规划模型只能有一个目标函数，可称为单目标线性规划。–多目标线性规划模型具有两个或两个以上的目标函数。引例1某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如表所示。试确定计划期内的生产计划，使获得的利润最大。产品资源甲乙现有资源设备4324单位产品利润54解：设x1、x2分别表示甲、乙两种产品的产量，则可建立线规划模型如下：maxZ=5x1+4x24x1+3x2≤24x1，x2≥0假设：该工厂根据市场需求或合同规定，希望尽量扩大甲产品的生产；减少乙产品的产量。这时又增加了二个目标，则可建立如下的模型：maxZ1=5x1+4x2maxZ2=x1minZ3=x24x1+3x2≤24x1，x2≥0这些目标之间相互矛盾，一般的线性规划方法不能求解•引例2•某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见下表产品III资源限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68•设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为：0,40446010586max21212121xxxxxxxxz其最优解，即最优生产计划为X1=8，X2=2，maxz=64•假设计划人员还被要求考虑如下意见：•（1）由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半。•（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。•（3）最好能节约4小时设备工时；•（4）计划利润不少于48元。•面对这些意见，计划人员作出如下意见，首先原材料使用额不得突破；产品II产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。求解GP的思路•加权系数法–为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。•优先等级法–将各目标按其重要程度分成不同的优先等级，转化为单目标模型。•有效解法–寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。目标规划法•加权系数法和优先等级法的结合–对每个目标函数确定一个希望达到的期望值(目标值或理想值)；–由于各种条件的限制，这些目标值往往不可能全部都达到；–对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量，分别表示超过或未达到目标值的情况；–为区别各目标的重要程度，引入目标的优先等级和加权系数；–对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条件中，组成新的约束条件；–从这组新的约束条件，寻找使组合偏差最小的方案。•目标函数的期望值–每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。–根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。•偏差变量–每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的期望值之间就有正的或负的偏差。–正偏差变量dk+表示第k个目标超过期望值的数值；–负偏差变量dk-表示第k个目标未达到期望值的数值。–同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没有达到期望值，所以在dk+和dk-中至少有一个必须为零。☀☀目标规划的基本概念•目标约束–引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方程。njkkjkjEddxc1*–原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束(软约束)–原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。在引例题中，计划人员提出新要求(1)由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半。（2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗。（3）最好能节约4小时设备工时；（4）计划利润不少于48元。1/2x1=x2x1-2x2+d1--d1+=04x1+4x2=40-44x1+4x2+d2--d2+=366x1+8x2=486x1+8x2+d3--d3+=48•目标达成函数–各个目标函数引入正、负偏差变量，而被列入了目标约束条件。–如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。–这个新的目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况，故把这个新的目标函数称为目标达成函数。•若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差变量dk+、dk-都尽可能最小，将dk+和dk-都列入目标函数中，即minSk=dk++dk-；•若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差变量dk-尽可能的小，而不关心超出量dk+，故只需将dk-列入目标函数，minSk=dk-；•若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期望值，则正偏差变量dk+尽可能地小，而不关心低于量dk-，故只需将dk+列入目标函数，minSk=dk+。•优先等级和权数–目标的重要程度不同，用优先等级因子Pk来表示第k等级目标。–优先等级因子Pk是正的常数，PkPk+1。–同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权系数w。•例如–第一个目标:由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半。其优先级为P1；（4）。–第二个目标:最好能节约4小时设备工时是其优先级为P2；–第三个目标：计划利润不少于48元,优先级为P3。–minZ=P1d1-+P2d2++P3d3-所以，引例2的目标规划模型如下：minZ=P1d1-+P2d2++P3d3-5x1+10x2=60x1-2x2+d1--d1+=04x1+4x2+d2--d2+=366x1+8x2+d3--d3+=48引例1：管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品多2单位。对各目标函数引入正、负偏差变量，则目标约束为：5x1+4x2+d1--d1+=204x1+3x2+d2--d2+=24x1+d3--d3+=3-x1+x2+d4--d4+=2目标达成函数–第一个目标是实现利润最大，其优先级为P1；–第二个目标是充分利用设备台时，但尽量少加班，其优先级为P2；–第三个目标：甲的产量不少于3，乙的产量比甲多2，优先级为P3。假设：甲产品产量希望不少于3单位的权数为3，乙产品产量比甲产品多2单位的权数为5。minZ=P1d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)minZ=P1d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)5x1+4x2+d1--d1+=204x1+3x2+d2--d2+=24x1+d3--d3+=3-x1+x2+d4--d4+=2x1,x2,dk-,dk+≥0目标规划的数学模型njddxKkEddxcmibxadwdwPZkkjknjkkjkjinjjijlklLllklKkkk,...,2,10,,,...,2,1,...,2,1),()(min*1111非负性约束目标约束绝对约束课堂练习：电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。该厂目标：1、充分利用装配线，避免开工不足。2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。3、尽量满足市场需求（产品25寸的两倍重要于21寸的电视机）。解：设X1,X2分别表示25寸，21寸彩电产量minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-)X1+X2+d1--d1+=40X1+X2+d2--d2+=50X1+d3--d3+=24X2+d4--d4+=30X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3,4)目标规划的解法•目标规划的图解法•只含有两个决策变量的目标规划模型•线性规划是在可行域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。•目标规划的图解法的思路–首先是在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1；–然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2(R2R1)；–接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3R2R1)；–如此继续，直到寻找到一个区域RK(RKRK-1…R3R2R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。•目标规划的图解法的步骤–首先，按照绝对约束画出可行域，–其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，–最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。minZ=P1d1-+P2d2++P3d3-5x1+10x2=60(1)x1-2x2+d1--d1+=0(2)4x1+4x2+d2--d2+=36(3)6x1+8x2+d3--d3+=48(4)x1x20123456789101112131110987654321(1)(2)d1-(4)d3-(3)d2+可行域minZ=P1d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-)5x1+4x2+d1--d1+=20①4x1+3x2+d2--d2+=24②x1+d3--d3+=3③-x1+x2+d4--d4+=2④x1,x2,dk-,dk+≥0⑤x1x2①d1+d1-②d2+d2-③d3+d3-④d4-d4+DABC满意解：x1=16/7,x2=32/7第三节目标规划的单纯形法•目标规划与线性规划的数学模型的结构相似•可用前述单纯形算法求解目标规划模型：–将优先等级Pk视为正常数(大Ｍ法)–正负偏差变量dk+、dk-视为松弛变量–以负偏差变量dk-为初始基变量，建立初始单纯形表–检验数的计算与LP单纯形表检验数的计算完全相同，即j=cj–CBB-1Pj